Problema 1

Se quiere hacer una puerta rectangular coronada por un semicírculo como el de la figura siguiente. El hueco de la puerta tiene 16 metros cuadrados de área. Determinar la longitud x de la base para que el perímetro sea mínimo.

Solución:

Nos piden minimizar el perímetro de esta figura, entonces calculamos en primer lugar dicho perímetro recordando que el perímetro de una circunferencia es $l=2\pi R$ . La figura se compone de un rectángulo sin lado superior y una semicircunferencia cuyo radio es $R=x/2$ , por tanto el perímetro es

$\displaystyle p(x,y)=2y+x+\frac{2\pi x/2}2=2y+x+\frac{\pi x}2$

Para poder optimizar esta función hay que derivarla, pero no podemos derivarla si depende de dos variables. Hemos de eliminar una de las variables, para ello utilizamos el dato aportado del área: $A=16$

El área de ésta figura es

$\displaystyle A=x\cdot y+\frac{\pi R^2}2=x\cdot y+\frac{\pi x^2/2^2}2=\\\\=x\cdot y+\frac{\pi x^2}8=\frac{8xy+\pi x^2}8=16$

En esta última ecuación despejamos $y$

$\displaystyle 8xy+\pi x^2=128\\\\8xy=128-\pi x^2\\\\y=\frac{128-\pi x^2}{8x}$

Sustituimos esta expresión de $y$ en la función $p(x,y)$

$\displaystyle p(x)=2\frac{128-\pi x^2}{8x}+x+\frac{\pi x}2=\\\\=\frac{128-\pi x^2}{4x}+x+\frac{\pi x}2=\\\\=\frac{128-\pi x^2+4x^2+2\pi x^2}{4x}=\frac{128+(4+\pi )x^2}{4x}$

Para calcular el mínimo de esta función, la derivamos, la derivada la igualamos a 0, y resolvemos la ecuación resultantes:

$\displaystyle p'(x)=\frac{2(4+\pi )x\cdot 4x-(128+(4+\pi )x^2)\cdot 4}{(4x)^2}=\\\\=\frac{8(4+\pi )x^2-4(128+(4+\pi )x^2)}{(4x)^2}=\\\\=\frac{8(4+\pi )x^2-512-4(4+\pi )x^2}{(4x)^2}=\\\\=\frac{4(4+\pi )x^2-512}{(4x)^2}$

$\displaystyle \begin{aligned}\frac{4(4+\pi )x^2-512}{(4x)^2}&=0\\4(4+\pi )x^2-512&=0\\4(4+\pi )x^2&=512\\x^2&=\frac{512}{4(4+\pi )}=\frac{128}{4+\pi }\\x_0&=\sqrt{\frac{128}{4+\pi}}\end{aligned}$