Problema 2

Considera la región limitada por las curvas y=x^2\mbox{ e }y=-x^2+4x

a) Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte de ambas gráficas.

b) Expresar el área como una integral.

c) Calcular el área encerrada por ambas curvas.


Solución:

a) Las dos gráficas corresponden a parábolas

y=x^2 es una parábola convexa que pasa por el punto (0,0), donde tiene su vértice y donde también corta a los ejes de abscisas y ordenada. Pasa también por los puntos (1,1) y (-1,1).

y=-x^2+4x es una parábola cóncava que tiene su máximo en \displaystyle x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2. El valor de esta función en ese punto es y=-2^2+4\cdot 2=4 teniendo así las coordenadas del vértice (2,4).

Esta función corta al eje x (y=0) en

0=-x^2+4x\\0=x(-x+4)\longrightarrow x=0,\,x=4

y al eje y (x=0) en

y=-0^2+4\cdot 0\longrightarrow y=0

Con estos datos ya podemos esbozar las gráficas

p2

Hallamos a continuación los puntos de corte de ambas gráficas. Para ello igualamos ambas funciones y resolvemos la ecuación resultante

\begin{aligned}x^2&=-x^2+4x\\2x^2-4x&=0\\2x(x-2)&=0\end{aligned}

cuya solución es x=0,\,x=2. Por tanto, los puntos donde se cortan ambas curvas son (0,0) y (2,4).


b) El área encerrada por ambas curvas es

\displaystyle A=\int_0^2 (-x^2+4x)-(x^2)\, dx=\int_0^2 -2x^2+4x\, dx


c) Calculamos dicho área

\displaystyle A=\int_0^2 -2x^2+4x\, dx=\left [\frac{-2x^3}3+\frac{4x^2}2\right]_0^2=\\=\left (\frac{-2\cdot 2^3}3+\frac{4\cdot 2^2}2\right )-\left (\frac{-2\cdot 0^3}3+\frac{4\cdot 0^2}2\right )=\frac{-16}3+8=\frac{-16+24}3=\frac 83\mbox{ u.a.}

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