Problema 3

Considera $A=\begin{pmatrix}-2&-2&0\\-2&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$ y $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

a) Determinar los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A+\lambda I$ no tiene inversa, siendo $I$ la matriz identidad.

b) Resolver $AX=-3X$ y determinar si existe alguna solución con $x=1.$

Solución:

$\mbox{a) }A+\lambda I=\begin{pmatrix}-2&-2&0\\-2&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2+\lambda &-2&0\\-2&1+\lambda &0\\0&0&-2+\lambda \end{pmatrix}$

Para que una matriz no tenga inversa su determinante ha de ser 0, así que calculamos el determinante de esta matriz, igualaremos a 0 y resolveremos.

$\begin{vmatrix}-2+\lambda &-2&0\\-2&1+\lambda &0\\0&0&-2+\lambda \end{vmatrix}=(-2+\lambda)^2(1+\lambda)-4(-2+\lambda)=\\=[(-2+\lambda)(1+\lambda)-4](-2+\lambda)=[-2-2\lambda +\lambda +\lambda^2-4](-2+\lambda)=\\=(\lambda^2-\lambda -6)(-2+\lambda)=0$

Ecuación cuyas soluciones son $\lambda =3,\,\lambda =-2,\,\lambda =2$ . Para estos valores de $\lambda$ la matriz $A+\lambda I$ no tiene inversa.

b) Resolvemos $AX=-3X$

$\begin{aligned}AX&=-3X\\\begin{pmatrix}-2&-2&0\\-2&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=-3\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}-2x-2y\\-2x+y\\-2z\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-3x\\-3y\\-3z\end{pmatrix}\end{aligned}$