Problema 3

Considera A=\begin{pmatrix}-2&-2&0\\-2&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix} y X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

a) Determinar los valores de \lambda para los que la matriz A+\lambda I no tiene inversa, siendo I la matriz identidad.

b) Resolver AX=-3X y determinar si existe alguna solución con x=1.


Solución:

\mbox{a) }A+\lambda I=\begin{pmatrix}-2&-2&0\\-2&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2+\lambda &-2&0\\-2&1+\lambda &0\\0&0&-2+\lambda \end{pmatrix}

Para que una matriz no tenga inversa su determinante ha de ser 0, así que calculamos el determinante de esta matriz, igualaremos a 0 y resolveremos.

\begin{vmatrix}-2+\lambda &-2&0\\-2&1+\lambda &0\\0&0&-2+\lambda \end{vmatrix}=(-2+\lambda)^2(1+\lambda)-4(-2+\lambda)=\\=[(-2+\lambda)(1+\lambda)-4](-2+\lambda)=[-2-2\lambda +\lambda +\lambda^2-4](-2+\lambda)=\\=(\lambda^2-\lambda -6)(-2+\lambda)=0

Ecuación cuyas soluciones son \lambda =3,\,\lambda =-2,\,\lambda =2. Para estos valores de \lambda la matriz A+\lambda I no tiene inversa.


b) Resolvemos AX=-3X

\begin{aligned}AX&=-3X\\\begin{pmatrix}-2&-2&0\\-2&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=-3\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}-2x-2y\\-2x+y\\-2z\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-3x\\-3y\\-3z\end{pmatrix}\end{aligned}

que da lugar al siguiente sistema de ecuaciones

\left \{\begin{aligned}-2x-2y&=-3x\\-2x+y&=-3y\\-2z&=-3z\end{aligned}\right .

cuya solución es z=0 y x=2y. Si x=1 entonces ha de ser y=1/2, por tanto, la solución de la ecuación original en este caso es:

X=\begin{pmatrix}1\\1/2\\0\end{pmatrix}

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