Problema 4

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considera el punto P(1,-1,0) y la recta r dada por \left \{\begin{aligned}x&=1+3t\\y&=-2\\z&=t\end{aligned}\right .

a) Determinar la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r.

b) Halla las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.

Solución:

a) La recta r está formada por un punto P_r(1,-2,0) y un vector \vec v_r=(3,0,1). El plano que nos piden contiene a P\mbox{ y }P_r, y es, por tanto, paralelo al vector \overrightarrow {PP_r}. También es paralelo a \vec v_r porque el plano contiene a r

Por tanto, el plano que nos piden se construye con los siguientes elementos (P,\overrightarrow {PP_r},\vec v_r)

El vector \overrightarrow{PP_r}=(1,-2,0)-(1,-1,0)=(0,-1,0)

\pi:\,(x,y,z)=(1,-1,0)+\lambda (0,-1,0)+\mu (3,0,1)

escrito en forma vectorial.

b) Hay varias formas de calcular el punto simétrico de P con respecto a r. Llamamos a dicho punto P´.

El punto P´ es tal que:

  • El punto medio M de P y P´ pertenece r.
  • Se cumple \vec v_r\bot \overrightarrow{MP}

Una forma de calcular M es construir un plano α⊥r que pase por P, y calcular su intersección

M=\alpha \cap r

El punto M así calculado, cumple los preceptos anteriores.

El plano α: Ax+By+Cz+D=0 tiene por vector normal a \vec v_r=(3,0,1), por tanto

α: 3x+z+D=0, además α pasa por P(1,-1,0), por tanto 3·1+0+D=0 de donde D=-3. El plano α es

α: 3x+z-3=0

Calculamos α∩r, es decir, M. Para ello sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la implícita del plano

3\cdot(1+3t)+t-3=0

resolvemos

\begin{aligned}3+9t+t-3&=0\\10t&=0\\t&=0\end{aligned}

Sustituimos este valor de t en las ecuaciones paramétricas de r y tenemos M.

M=(1+3\cdot 0, -2,0)=(1,-2,0)

Ya tenemos M y aplicamos la fórmula del punto medio

\displaystyle \begin{aligned}\frac{P+P'}2&=M\\P+P'&=2M\\P'&=2M-P\end{aligned}

Luego P'=2(1,-2,0)-(1,-1,0)=(1,-3,0)

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