Considera el punto P(1,-1,0) y la recta r dada por

a) Determinar la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r.

b) Halla las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.

Solución:

a) La recta r está formada por un punto y un vector . El plano que nos piden contiene a , y es, por tanto, paralelo al vector . También es paralelo a porque el plano contiene a r

Por tanto, el plano que nos piden se construye con los siguientes elementos

El vector

escrito en forma vectorial.

b) Hay varias formas de calcular el punto simétrico de P con respecto a r. Llamamos a dicho punto P´.

El punto P´ es tal que:

• El punto medio M de P y P´ pertenece r.
• Se cumple

Una forma de calcular M es construir un plano α⊥r que pase por P, y calcular su intersección

El punto M así calculado, cumple los preceptos anteriores.

El plano α: Ax+By+Cz+D=0 tiene por vector normal a , por tanto

α: 3x+z+D=0, además α pasa por P(1,-1,0), por tanto 3·1+0+D=0 de donde D=-3. El plano α es

α: 3x+z-3=0

Calculamos α∩r, es decir, M. Para ello sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la implícita del plano

resolvemos

Sustituimos este valor de t en las ecuaciones paramétricas de r y tenemos M.

Ya tenemos M y aplicamos la fórmula del punto medio

Luego

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