Problema 5

Considera la función f definida por \displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1} para x\neq 1.

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) Estudia y determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Calcula los extremos relativos de f.


Solución:

a) Dado que el dominio de f es \mathbb R \smallsetminus\{1\} si existe asíntota vertical será en x=1

  • Asíntota vertical

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{x^2}{x-1}=\frac{1}{0^-}=-\infty\\\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{x^2}{x-1}=\frac{1}{0^+}=+\infty

Hay por tanto asíntota vertical: x=1

  • Asíntota horizontal

Calculamos los siguientes límites

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2}{x-1}=+\infty\\\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2}{x-1}=-\infty

No hay, por tanto, asíntota horizontal.

  • Asíntota oblicua

Existirá asíntota oblicua y=mx+n si existen m≠0 y n ambos finitos calculados de la siguiente manera

\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2}{x(x-1)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2}{x^2-x}=1\\n=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2}{x-1}-x=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2-x^2+x}{x-1}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{x-1}=1

Por tanto, existe asíntota oblicua y su ecuación es y=x+1

b) Para estudiar la monotonía de la función derivamos f

\displaystyle f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}

Calculamos los puntos críticos

\displaystyle \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=0\\x^2-2x=0\\x(x-2)=0

cuyas soluciones son x=0,\, x=2

Estudiamos el signo de f´(x) probando valores dentro de los intervalos dados

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &(-\infty,0)&(0,1)&(1,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&-&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

En x=0 la función presenta un máximo local: (0,0)

En x=2 la función presenta un mínimo local: (2,4)

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