Problema 5

Considera la función f definida por $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ para $x\neq 1.$

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) Estudia y determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Calcula los extremos relativos de f.

Solución:

a) Dado que el dominio de f es $\mathbb R \smallsetminus\{1\}$ si existe asíntota vertical será en $x=1$

Asíntota vertical

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{x^2}{x-1}=\frac{1}{0^-}=-\infty\\\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{x^2}{x-1}=\frac{1}{0^+}=+\infty$

Hay por tanto asíntota vertical: $x=1$

Asíntota horizontal

Calculamos los siguientes límites

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2}{x-1}=+\infty\\\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2}{x-1}=-\infty$

No hay, por tanto, asíntota horizontal.

Asíntota oblicua

Existirá asíntota oblicua y=mx+n si existen m≠0 y n ambos finitos calculados de la siguiente manera

$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2}{x(x-1)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2}{x^2-x}=1\\n=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2}{x-1}-x=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2-x^2+x}{x-1}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{x-1}=1$

Por tanto, existe asíntota oblicua y su ecuación es $y=x+1$

b) Para estudiar la monotonía de la función derivamos f

$\displaystyle f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

Calculamos los puntos críticos

$\displaystyle \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=0\\x^2-2x=0\\x(x-2)=0$

cuyas soluciones son $x=0,\, x=2$

Estudiamos el signo de f´(x) probando valores dentro de los intervalos dados

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &(-\infty,0)&(0,1)&(1,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&-&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$