Problema 10

Determina la función f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R tal que f''(x)=xe^x, cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y tiene un extremo relativo en x=1.


Solución:

Para calcular f(x) a partir de f´´(x), tendremos que integrar dos veces ésta última función.

\displaystyle f'(x)=\int f''(x)\, dx=\int xe^x\, dx

Para hacer esta integral no inmediata utilizamos el método de integración por partes.

u=x\longrightarrow du=dx\\\\dv=e^x\, dx\longrightarrow v=e^x

Por tanto

\displaystyle f'(x)=\int xe^x\, dx=xe^x-\int e^x\, dx=xe^x-e^x+k_1

Dice el enunciado que existe un extremo relativo en x=1, lo cual quiere decir que f'(1)=0. Este dato nos permitirá calcular k_1. En efecto

f'(1)=1e^1-e^1+k_1=0\\\\k_1=0

Por tanto, f'(x)=xe^x-e^x

Integrando f´(x) obtendremos f(x)

\displaystyle f(x)=\int f'(x)\, dx=\int xe^x-e^x\, dx=\\\\=\int xe^x\, dx-\int e^x\, dx

La primera integral se calculó anteriormente, la segunda es inmediata

\displaystyle f(x)=\int xe^x\, dx-\int e^x\, dx=xe^x-e^x-e^x+k_2=xe^x-2e^x+k_2

Para calcular k_2 aprovechamos el dato que dice que la función pasa por el origen de coordenadas, es decir, f(0)=0

f(0)=0e^0-2e^0+k_2=-2+k_2=0

de donde ha de ser k_2=2, por tanto

f(x)=xe^x-2e^x+2

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