Problema 11

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por AX=B siendo

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&0&3\\1&3&m-2\end{pmatrix}\qquad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}m\\2m+1\\m-1\end{pmatrix}

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Para m=2, calcular, si es posible, una solución del sistema anterior para la que z=17.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Primero calculamos el rango de A

\begin{vmatrix}1&1&1\\2&0&3\\1&3&m-2\end{vmatrix}=3+6-2(m-2)-9=-2(m-2)

Este determinante vale 0 si m=2, por tanto

  • Si m≠2 entonces rg(A)=3=rg(A*)=n y por tanto el sistema es compatible determinado.
  • Si m=2 entonces el rg(A) no es 3, veamos si es 2

\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}=-2

por tanto el rg(A)=2. Calculemos el rango de A*

\begin{vmatrix}1&1&2\\2&0&5\\1&3&1\end{vmatrix}=5+12-2-15=0

Por tanto rg(A*)=2=rg(A)<n, por tanto el sistema es compatible indeterminado.


b) Para m=2 el sistema es, como se vio anteriormente, compatible indeterminado, porque el rango de las matrices de coeficientes y ampliada es 2, mientras que n=3. Para resolverlo  escribimos z=λ y a continuación reescribimos el sistema obviando la ecuación que es linealmente dependiente de las otras.

\left \{\begin{aligned}x&+y&=2-\lambda\\2x&&=5-3\lambda\end{aligned}\right .

De la segunda ecuación se deduce que \displaystyle x=\frac{5-3\lambda}2 y de la primera

\displaystyle \frac{5-3\lambda}2+y=2-\lambda\\\\y=2-\lambda-\frac{5-3\lambda}2=\frac{4-2\lambda-5+3\lambda}2\\\\y=\frac{\lambda-1}2

Las soluciones son, por tanto

\left \{\begin{array}{l}\displaystyle x=\frac{5-3\lambda}2\\\displaystyle y=\frac{\lambda-1}2\\z=\lambda\end{array}\right .

Existe una solución con z=17 que se consigue si 17=λ. Sustituyendo en el resto de variables resulta

\left \{\begin{array}{l}x=-23\\y=8\\z=17\end{array}\right .

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