Problema 12

Los puntos A(1,1,1), B(2,2,2) y C(1,3,3) son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD.

a) Calcular el área de dicho paralelogramo.

b) Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo.

c) Calcula las coordenadas del vértice D.

Solución:

p12 a) El área S del paralelogramo ABCD es:

$S=|\overrightarrow{BC}\wedge \overrightarrow{BA}|$

siendo $\overrightarrow{BC}=(-1,1,1)$ y $\overrightarrow{BA}=(-1,-1,-1)$

Calculamos el producto vectorial

$\overrightarrow{BC}\wedge \overrightarrow{BA}=\begin{vmatrix}\vec \imath&\vec \jmath &\vec k\\-1&1&1\\-1&-1&-1\end{vmatrix}=-\vec \imath-\vec \jmath+\vec k+\vec k-\vec \jmath+\vec \imath=(0,-2,2)$

El módulo de este vector es el área buscada

$S=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt 8=2\sqrt 2$ u.a.

b) Para calcular el plano que contiene al paralelogramo utilizaremos un punto cualquiera del paralelogramo, por ejemplo el punto A, y los dos vectores calculados anteriormente.

$\begin{vmatrix}x-1&y-1&z-1\\-1&1&1\\-1&-1&-1\end{vmatrix}=-x+1-y+1+z-1+z-1-y+1+x-1=-2y+2z=0$