Problema 12

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Los puntos A(1,1,1), B(2,2,2) y C(1,3,3) son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD.

a) Calcular el área de dicho paralelogramo.

b) Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo.

c) Calcula las coordenadas del vértice D.

Solución:

a) El área S del paralelogramo ABCD es:

S=|\overrightarrow{BC}\wedge \overrightarrow{BA}|

p12

siendo \overrightarrow{BC}=(-1,1,1) y \overrightarrow{BA}=(-1,-1,-1)

Calculamos el producto vectorial

\overrightarrow{BC}\wedge \overrightarrow{BA}=\begin{vmatrix}\vec \imath&\vec \jmath &\vec k\\-1&1&1\\-1&-1&-1\end{vmatrix}=-\vec \imath-\vec \jmath+\vec k+\vec k-\vec \jmath+\vec \imath=(0,-2,2)

El módulo de este vector es el área buscada

S=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt 8=2\sqrt 2 u.a.

b) Para calcular el plano que contiene al paralelogramo utilizaremos un punto cualquiera del paralelogramo, por ejemplo el punto A, y los dos vectores calculados anteriormente.

\begin{vmatrix}x-1&y-1&z-1\\-1&1&1\\-1&-1&-1\end{vmatrix}=-x+1-y+1+z-1+z-1-y+1+x-1=-2y+2z=0

Simplificando, podemos escribir que el plano es π: y–z=0.

c) Sea el punto D(a,b,c). Como

\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}

\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=(1,3,3)-(2,2,2)=(-1,1,1)

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=(a,b,c)-(1,1,1)=(a-1,b-1,c-1)

Entonces

(-1,1,1)=(a-1,b-1,c-1)

de donde a=0, b=2, c=2. Entonces el punto buscado es D(0,2,2)

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