Calcular ![\displaystyle \int_1^{16}\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint_1%5E%7B16%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%2B%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle \int_1^{16}\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}")
![t=\sqrt[4]{x}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=t%3D%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "t=\sqrt[4]{x}")
Solución:
Hacemos el cambio de variable sugerido
![t=\sqrt[4]{x}\\x=t^4\\dx=4t^3\, dt\\\sqrt{x}=\sqrt{t^4}=t^2](https://s0.wp.com/latex.php?latex=t%3D%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D%5C%5Cx%3Dt%5E4%5C%5Cdx%3D4t%5E3%5C%2C+dt%5C%5C%5Csqrt%7Bx%7D%3D%5Csqrt%7Bt%5E4%7D%3Dt%5E2&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "t=\sqrt[4]{x}\\x=t^4\\dx=4t^3\, dt\\\sqrt{x}=\sqrt{t^4}=t^2")
También calculamos los límites de integración con las nuevas variables
![x=1\longrightarrow t=\sqrt[4]1=1\\x=16\longrightarrow t=\sqrt[4]{16}=2](https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%3D1%5Clongrightarrow+t%3D%5Csqrt%5B4%5D1%3D1%5C%5Cx%3D16%5Clongrightarrow+t%3D%5Csqrt%5B4%5D%7B16%7D%3D2&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "x=1\longrightarrow t=\sqrt[4]1=1\\x=16\longrightarrow t=\sqrt[4]{16}=2")
luego
![\displaystyle \int_1^{16}\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}=\int_1^2 \frac{4t^3}{t^2+t}\, dt=\int_1^2 \frac{4t^2}{t+1}\, dt](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint_1%5E%7B16%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%2B%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D%7D%3D%5Cint_1%5E2+%5Cfrac%7B4t%5E3%7D%7Bt%5E2%2Bt%7D%5C%2C+dt%3D%5Cint_1%5E2+%5Cfrac%7B4t%5E2%7D%7Bt%2B1%7D%5C%2C+dt&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle \int_1^{16}\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}=\int_1^2 \frac{4t^3}{t^2+t}\, dt=\int_1^2 \frac{4t^2}{t+1}\, dt")
Esta es una integral racional. Escribimos la fracción en forma de cociente y resto
![\displaystyle \int_1^2 \frac{4t^2}{t+1}\, dt=\int_1^2 4t-4\, dt+\int_1^2 \frac{4}{t+1}\, dt=\\\\=\left [\frac{4t^2}2-4t\right ]_1^2+\left [4\ln |t+1|\right ]_1^2=\\\\=(8-8)-(2-4)+(4\ln 3)-(4\ln 2)=2+4\ln (3/2)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint_1%5E2+%5Cfrac%7B4t%5E2%7D%7Bt%2B1%7D%5C%2C+dt%3D%5Cint_1%5E2+4t-4%5C%2C+dt%2B%5Cint_1%5E2+%5Cfrac%7B4%7D%7Bt%2B1%7D%5C%2C+dt%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft+%5B%5Cfrac%7B4t%5E2%7D2-4t%5Cright+%5D_1%5E2%2B%5Cleft+%5B4%5Cln+%7Ct%2B1%7C%5Cright+%5D_1%5E2%3D%5C%5C%5C%5C%3D%288-8%29-%282-4%29%2B%284%5Cln+3%29-%284%5Cln+2%29%3D2%2B4%5Cln+%283%2F2%29&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle \int_1^2 \frac{4t^2}{t+1}\, dt=\int_1^2 4t-4\, dt+\int_1^2 \frac{4}{t+1}\, dt=\\\\=\left [\frac{4t^2}2-4t\right ]_1^2+\left [4\ln |t+1|\right ]_1^2=\\\\=(8-8)-(2-4)+(4\ln 3)-(4\ln 2)=2+4\ln (3/2)")
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Calcular
Solución:
Hacemos el cambio de variable sugerido
También calculamos los límites de integración con las nuevas variables
luego
Esta es una integral racional. Escribimos la fracción en forma de cociente y resto
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