Problema 6

Calcular \displaystyle \int_1^{16}\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}     (sugerencia t=\sqrt[4]{x})


Solución:

Hacemos el cambio de variable sugerido

t=\sqrt[4]{x}\\x=t^4\\dx=4t^3\, dt\\\sqrt{x}=\sqrt{t^4}=t^2

También calculamos los límites de integración con las nuevas variables

x=1\longrightarrow t=\sqrt[4]1=1\\x=16\longrightarrow t=\sqrt[4]{16}=2

luego

\displaystyle \int_1^{16}\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}=\int_1^2 \frac{4t^3}{t^2+t}\, dt=\int_1^2 \frac{4t^2}{t+1}\, dt

Esta es una integral racional. Escribimos la fracción en forma de cociente y resto

\displaystyle \int_1^2 \frac{4t^2}{t+1}\, dt=\int_1^2 4t-4\, dt+\int_1^2 \frac{4}{t+1}\, dt=\\\\=\left [\frac{4t^2}2-4t\right ]_1^2+\left [4\ln |t+1|\right ]_1^2=\\\\=(8-8)-(2-4)+(4\ln 3)-(4\ln 2)=2+4\ln (3/2)

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