Problema 7

Se sabe que el coste de 3 lápices, 1 rotulador y 2 carpetas es de 15 euros, mientras que el de 2 lápices 4 rotuladores y 1 carpeta es de 20 euros.

a) Sabiendo que 1 lápiz y 7 rotuladores cuestan 25 euros, ¿podemos deducir el precio de cada uno de los artículos? Razona la respuesta.

b) Si por el precio de una carpeta se pueden comprar 10 lápices, ¿cuanto cuesta cada uno de los artículos?


Solución:

a) Sea x el precio de un lápiz, y el precio de un rotulador y z el precio de una carpeta, entonces con los datos dados se obtiene el siguiente sistema

\left \{\begin{aligned}3x&+y&+2z&=15\\2x&+4y&+z&=20\\x&+7y&&=25\end{aligned}\right .

Este sistema tiene la siguiente matriz de coeficientes

A=\begin{pmatrix}3&1&2\\2&4&1\\1&7&0\end{pmatrix}

Calculamos el rango de dicha matriz

\begin{vmatrix}3&1&2\\2&4&1\\1&7&0\end{vmatrix}=1+28-8-21=0

El rango no es 3

\begin{vmatrix}3&1\\2&4\end{vmatrix}=12-2\neq 0

El rango de A es 2.

Calculamos el rango de la matriz ampliada

A^*=\begin{pmatrix}3&1&2&15\\2&4&1&20\\1&7&0&25\end{pmatrix}

\begin{vmatrix}3&1&15\\2&4&20\\1&7&25\end{vmatrix}=300+20+210-60-50-420=0

Como el rango de la matriz ampliada no es 3, entonces tiene que ser como el de A, es decir, 2. Como el número de incógnitas es 3, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado. Es decir, este sistema tiene infinitas soluciones. El precio de cada artículo está entre esas infinitas soluciones por no podemos saber cual es.


b) Las variables tienen en mismo significado que en el apartado anterior pero dado que por el precio de una carpeta se pueden comprar 10 lápices, se obtiene la ecuación z=10x. El sistema resultante es

\left \{\begin{aligned}3x&+y&+2z&=15\\2x&+4y&+z&=20\\10x&&-z&=0\end{aligned}\right .

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes

\begin{vmatrix}3&1&2\\2&4&1\\10&0&-1\end{vmatrix}=-12+10-80+2=-80

Por tanto el rango de A es 3. La matriz ampliada tiene dimensiones 3×4, por tanto, obligatoriamente su rango es 3 también, y como el número de incógnitas también es 3, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado.

Calculamos el valor unitario de cada artículo utilizando la regla de Cramer.

\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}15&1&2\\20&4&1\\0&0&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1&2\\2&4&1\\10&0&-1\end{vmatrix}}=\frac{-60+20}{-80}=0.5

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix}3&15&2\\2&20&1\\10&0&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1&2\\2&4&1\\10&0&-1\end{vmatrix}}=\frac{-60+150-400+30}{-80}=3.5

\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}3&1&15\\2&4&20\\10&0&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1&2\\2&4&1\\10&0&-1\end{vmatrix}}=\frac{200-600}{-80}=5

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