Considera los vectores
a) Halla m y n sabiendo que 
b) Para n=1, halla los valores de m para que el tetraedro determinado por
Solución:
a) Si los vectores son linealmente dependientes, entonces el determinante formado por dichos vectores ha de ser 0
Como 
Tenemos entonces un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Como de la segunda ecuación 
Entonces n=1/4 y m=-1/4
b) El volumen del tetraedro formado por 3 vectores es
![\displaystyle V=\frac {|[\vec u,\vec v,\vec w]|}6](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+V%3D%5Cfrac+%7B%7C%5B%5Cvec+u%2C%5Cvec+v%2C%5Cvec+w%5D%7C%7D6&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle V=\frac {|[\vec u,\vec v,\vec w]|}6")
Calculamos en primer lugar el producto mixto de los tres vectores
![[\vec u,\vec v,\vec w]=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&2&1\\m&1&1\end{vmatrix}=2-2m-1=1-2m](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B%5Cvec+u%2C%5Cvec+v%2C%5Cvec+w%5D%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D1%260%261%5C%5C0%262%261%5C%5Cm%261%261%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D2-2m-1%3D1-2m&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "[\vec u,\vec v,\vec w]=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&2&1\\m&1&1\end{vmatrix}=2-2m-1=1-2m")
Sustituimos sabiendo que el volumen vale 10 unidades cúbicas.
![\displaystyle \frac {|[\vec u,\vec v,\vec w]|}6=10\\|[\vec u,\vec v,\vec w]|=60\\|1-2m|=60](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cfrac+%7B%7C%5B%5Cvec+u%2C%5Cvec+v%2C%5Cvec+w%5D%7C%7D6%3D10%5C%5C%7C%5B%5Cvec+u%2C%5Cvec+v%2C%5Cvec+w%5D%7C%3D60%5C%5C%7C1-2m%7C%3D60&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle \frac {|[\vec u,\vec v,\vec w]|}6=10\\|[\vec u,\vec v,\vec w]|=60\\|1-2m|=60")
Esta ecuación en valor absoluto tiene dos soluciones
cuyas soluciones son m=-59/2 y m=61/2
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