Problema 8

Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores II

Considera los vectores \vec u=(1,0,1),\,\vec v=(0,2,1)\mbox{ y }\vec w=(m,1,n).

a) Halla m y n sabiendo que \vec u,\,\vec v\mbox{ y }\vec w son linealmente dependientes y que \vec w es ortogonal a \vec u.

b) Para n=1, halla los valores de m para que el tetraedro determinado por \vec u,\,\vec v\mbox{ y }\vec w tenga un volumen de 10 unidades cúbicas.

Solución:

a) Si los vectores son linealmente dependientes, entonces el determinante formado por dichos vectores ha de ser 0

\begin{vmatrix}1&0&1\\0&2&1\\m&1&n\end{vmatrix}=2n-2m-1=0

Como \vec w\bot \vec u entonces el producto escalar de ambos es 0.

\vec w\cdot \vec u=m+n=0

Tenemos entonces un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

\left \{\begin{array}{l}2m-2n=-1\\m+n=0\end{array}\right .

Como de la segunda ecuación m=-n, sustituyendo en la primera

2(-n)-2n=-1\\-4n=-1

Entonces n=1/4 y m=-1/4

b) El volumen del tetraedro formado por 3 vectores es

\displaystyle V=\frac {|[\vec u,\vec v,\vec w]|}6

Calculamos en primer lugar el producto mixto de los tres vectores

[\vec u,\vec v,\vec w]=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&2&1\\m&1&1\end{vmatrix}=2-2m-1=1-2m

Sustituimos sabiendo que el volumen vale 10 unidades cúbicas.

\displaystyle \frac {|[\vec u,\vec v,\vec w]|}6=10\\|[\vec u,\vec v,\vec w]|=60\\|1-2m|=60

Esta ecuación en valor absoluto tiene dos soluciones

1-2m=60\\-1+2m=60

cuyas soluciones son m=-59/2 y m=61/2

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