Problema 9

Una imprenta recibe el encargo de realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de 100 cm², el margen superior tiene que ser de 2 cm, el inferior de 3 cm y los laterales de 5 cm cada uno.

Calcular, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible.


Solución:

p9Las dimensiones de la tarjeta son x cm de base e y cm de altura, y es lo que nos piden calcular.

Comenzamos por definir la función que nos piden optimizar, en nuestro caso utilizar la menor cantidad de papel posible, lo que significa minimizar el área total del papel.

El área total del papel es

A(x,y)=x·y

Esta es una función de dos variables que no podemos derivar. Hemos de utilizar la restricción proporcionada para eliminar una de las variables de la función a optimizar. En nuestro caso la restricción es que el área de la zona impresa dentro de los márgenes ha de ser A_{imp}=100 cm².

\displaystyle A_{imp}=(x-5-5)\cdot (y-2-3)=(x-10)\cdot (y-5)=100\\\\y-5=\frac{100}{x-10}\\\\y=\frac{100}{x-10}+5

Sustituimos

\displaystyle A(x)=x\cdot \left ( \frac{100}{x-10}+5\right )=\\\\=\frac{100x}{x-10}+5x=\frac{100x+5x^2-50x}{x-10}=\frac{5x^2+50x}{x-10}

Ahora ya podemos optimizar esta función. Primero la derivamos

\displaystyle A'(x)=\frac{(10x+50)\cdot (x-10)-(5x^2+50x)}{(x-10)^2}=\\\\=\frac{10x^2-100x+50x-500-5x^2-50x}{(x-10)^2}=\frac{5x^2-100x-500}{(x-10)^2}

Igualamos a 0 y resolvemos

\displaystyle \frac{5x^2-100x-500}{(x-10)^2}=0\\\\5x^2-100x-500=0\\\\x^2-20x-100=0

Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son: x=24.14 cm y x=-4.14 cm

El resultado negativo se descarta porque no es posible una longitud negativa. Por tanto, x=24.14 cm.

Comprobamos que se trata de un mínimo aplicando el test de la derivada segunda:

\displaystyle A''(x)=\frac{(10x-100)(x-10)^2-(5x^2-100x-500)\cdot2(x-10)}{(x-10)^4}=\\\\=\frac{(10x-100)(x-10)-(10x^2-200x-1000)}{(x-10)^3}=\\\\=\frac{10x^2-100x-100x+1000-10x^2+200x+1000}{(x-10)^3}=\\\\=\frac{2000}{(x-10)^3}

De donde A''(24.14)>0. Por tanto, se trata de un mínimo.

Entonces, las dimensiones para que el gasto de papel sea mínimo es x=24.14 e

\displaystyle y=\frac{100}{24.14-10}+5=12.07 cm

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