Problema 13

Considera la función f\, :\, \mathbb R\longrightarrow \mathbb R definida por

\displaystyle f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2

a) Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de f. Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0.


Solución:

a) Para estudiar la monotonía de una función así como calcular sus extremos, comenzamos por calcular la función derivada de dicha función

\displaystyle f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2

Igualamos a 0 y resolvemos para calcular los puntos críticos

\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}2=0\\\\e^x-e^{-x}=0\\\\e^x=e^{-x}

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros

\ln e^x=\ln e^{-x}\\\\x=-x\\\\2x=0\\\\x=0

El único punto crítico se encuentra en x=0. Estamos en condiciones de estudiar la monotonía de f teniendo presente su dominio.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline &(-\infty ,0)&(0,+\infty )\\\hline f'(x)&-&+\\\hline f(x)&\mbox{decrece}&\mbox{crece}\\\hline\end{array}

Por tanto, en x=0 hay un mínimo absoluto. La coordenada y de dicho punto es: y=f(0)=1


b) La ecuación de la recta normal es

\displaystyle \boxed{y-f(x_0)=\frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)}

donde x_0 es la coordenada x del punto donde hemos de calcular la recta normal. En nuestros caso x_0=0, por tanto sabemos que f(0)=1 y que f'(0)=0. Solo nos resta sustituir en la ecuación anterior.

\displaystyle y-1=\frac{-1}0 (x-0)\\\\0=x

Es decir, la recta normal es el propio eje y.

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