Problema 14

Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OX, la recta y=x, la gráfica $\displaystyle y=\frac 1{x^3}$ y la recta $x=3.$

a) Haz un esbozo del recinto descrito.

b) Calcula el área del recinto

c) Si consideramos la gráfica $\displaystyle y=\frac 1x$ en lugar de $\displaystyle y=\frac 1{x^3}$ , el área del recinto correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿por qué?

Solución:

a) La recta y=x es fácil de representar tomando un par de valores. Sabemos que pasa por (0,0) y (1,1).

La función $\displaystyle y=\frac 1{x^3}$ es menos evidente aunque no más difícil. Es como la hipérbola $\displaystyle y=\frac 1x$ definida en $\mathbb R \smallsetminus\{0\}$ , tiene las mismas asíntotas aunque difiere de esta en la velocidad a la que se aproxima a dichas asíntotas horizontal y vertical. Por poner dos puntos: (1,1) y (-1,-1).

La recta x=3 es una recta vertical que pasa por el punto (3,0)

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b) El recinto cuyo área debemos calcular es el sombreado y se compone de dos partes: la primera está limitada por arriba por la recta y=x, y por debajo por el eje x y comprende desde x=0 hasta x=1, que es donde y=x corta con $\displaystyle y=\frac 1{x^3}$ . La segunda parte está limitada por arriba por $\displaystyle y=\frac 1{x^3}$ y por debajo por el eje x y comprende desde x=1 hasta x=3.

Por tanto el área es

$\displaystyle A=\int_0^1 x\, dx+\int_0^1 \frac 1{x^3}\, dx=\left [\frac{x^2}2\right ]_0^1-\left [\frac 1{2x^2}\right ]_1^3=\\\\=\frac 12-\left (\frac 1{18}-\frac 12\right )=\frac{9-1+9}{18}=\frac{17}{18}\mbox{ u.a.}$

c) Las funciones $\displaystyle y=\frac 1x$ y $\displaystyle y=\frac 1{x^3}$ son prácticamente iguales. Comparten dominio, asíntotas, simetría, monotonía o curvatura. Y no es exclusivo de estas dos funciones; ocurre con todas las funciones $\displaystyle y=\frac 1{x^n}$ con n natural impar ≥1.

Cuando $x\longrightarrow +\infty$ la función x³ diverge más rápido que x, por tanto, $\displaystyle \frac 1{x^3}$ converge a 0 más rápido que $\displaystyle \frac 1{x}$ . Esto quiere decir, que en la gráfica esbozada en el apartado a) la segunda parte entre x=1 y x=3, si en lugar de la función $\displaystyle y=\frac 1{x^3}$ hubiésemos tenido la función $\displaystyle y=\frac 1x$ , el área habría sido mayor porque $\displaystyle \frac 1{x^3}$ toma valores menores que $\displaystyle \frac 1{x}$ .