Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OX, la recta y=x, la gráfica y la recta
a) Haz un esbozo del recinto descrito.
b) Calcula el área del recinto
c) Si consideramos la gráfica en lugar de
, el área del recinto correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿por qué?
Solución:
a) La recta y=x es fácil de representar tomando un par de valores. Sabemos que pasa por (0,0) y (1,1).
La función es menos evidente aunque no más difícil. Es como la hipérbola
definida en
, tiene las mismas asíntotas aunque difiere de esta en la velocidad a la que se aproxima a dichas asíntotas horizontal y vertical. Por poner dos puntos: (1,1) y (-1,-1).
La recta x=3 es una recta vertical que pasa por el punto (3,0)
b) El recinto cuyo área debemos calcular es el sombreado y se compone de dos partes: la primera está limitada por arriba por la recta y=x, y por debajo por el eje x y comprende desde x=0 hasta x=1, que es donde y=x corta con . La segunda parte está limitada por arriba por
y por debajo por el eje x y comprende desde x=1 hasta x=3.
Por tanto el área es
c) Las funciones y
son prácticamente iguales. Comparten dominio, asíntotas, simetría, monotonía o curvatura. Y no es exclusivo de estas dos funciones; ocurre con todas las funciones
con n natural impar ≥1.
Cuando la función x³ diverge más rápido que x, por tanto,
converge a 0 más rápido que
. Esto quiere decir, que en la gráfica esbozada en el apartado a) la segunda parte entre x=1 y x=3, si en lugar de la función
hubiésemos tenido la función
, el área habría sido mayor porque
toma valores menores que
.
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