Problema 15

Considera A=\begin{pmatrix}k&0&k\\k+1&k&0\\0&k+1&k+1\end{pmatrix}

a) Discute el rango de A según los valores de k.

b) Para k=1, calcula el determinante de 2(A^tA^{-1})^{2017}, siendo A^t la matríz traspuesta de A.


Solución:

a) La matriz A es una matríz 3×3. Veamos bajo qué condiciones el rango es 3.

\begin{vmatrix}k&0&k\\k+1&k&0\\0&k+1&k+1\end{vmatrix}=k^2(k+1)+k(k+1)^2=\\=k(k+1)(k+k+1)=k(k+1)(2k+1)

Igualamos este determinante a 0 y resolvemos

k(k+1)(2k+1)=0

Las soluciones de esta ecuación son k=0,\, k=-1,\, k=-1/2

  • Si k\neq 0,\, k\neq-1,\, k\neq-1/2 el rango de A es 3.
  • Si k=0

A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}

cuyo rango es 2 ya que existe una submatriz de A tal que

\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq 0

  • Si k=-1

A=\begin{pmatrix}-1&0&-1\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}

cuyo rango es también 2 ya que existe una submatriz de A de orden 2 cuyo determinante es no nulo

\begin{vmatrix}-1&0\\0&-1\end{vmatrix}=1\neq 0

  • Si k=-1/2

A=\begin{pmatrix}-1/2&0&-1/2\\1/2&-1/2&0\\0&1/2&1/2\end{pmatrix}

cuyo rango es 2 ya que existe una submatriz de A de orden 2 cuyo determinante es no nulo

\begin{vmatrix}-1/2&0\\1/2&-1/2\end{vmatrix}=1/4\neq 0


b) Para k=1 el rango de A es 3 y por tanto existe A^{-1}

Para calcular el determinante que nos piden utilizaremos las propiedades de los determinantes.

\displaystyle \left |2(A^tA^{-1})^{2017}\right |\overset{P.6}=2^3|(A^tA^{-1})^{2017}|=8|\underbrace{A^t\cdot A^{-1}\cdot \dots \cdot A^t\cdot A^{-1}}_{2017\mbox{ veces}}|=\\\overset{P.3}=8\underbrace{|A^t|\cdot |A^{-1}|\cdot \dots \cdot |A^t|\cdot |A^{-1}|}_{2017\mbox{ veces}}\overset{P.2}=8\underbrace{|A|\cdot |A^{-1}|\cdot \dots \cdot |A|\cdot |A^{-1}|}_{2017\mbox{ veces}}=\\\overset{P.4}=8\underbrace{|A|\cdot \frac 1{|A|}\cdot \dots \cdot |A|\cdot \frac 1{|A|}}_{2017\mbox{ veces}}=8\cdot 1^{2017}=8

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