Problema 16

Considera el punto P(0,1,1) y la recta r dada por \left \{\begin{aligned}x&-2y&&=-5\\&&z&=2\end{aligned}\right .

a) Determina la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r.

b) Halla las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.


Solución:

a) En primer lugar escribiremos la recta r en forma paramétrica. Para ello hacemos y=λ de donde resulta que

\left \{\begin{array}{l}x=-5+2\lambda\\y=\lambda\\z=2\end{array}\right .

De esta forma observamos que la recta r se construye con el punto P_r=(-5,0,2) y el vector director \vec v_r=(2,1,0)

El plano π que contiene al punto P y a la recta r estará formado por <P,\vec v_r,\overrightarrow{PP_r}>

Necesitamos calcular el vector \overrightarrow{PP_r}

\overrightarrow{PP_r}=(-5,0,2)-(0,1,1)=(-5,-1,1)

Ya podemos calcular la ecuación general del plano π

\begin{aligned}\begin{vmatrix}x&y-1&z-1\\2&1&0\\-5&-1&1\end{vmatrix}&=x-2(z-1)+5(z-1)-2(y-1)=\\&=x+3(z-1)-2y+2=x+3z-3-2y+2=\\&=x-2y+3z-1=0\end{aligned}

El plano buscado es x-2y+3z-1=0


b) Calculamos en primer lugar un plano α perpendicular a r y que contenga a P. La ecuación general de dicho plano es: Ax+By+Cz+D=0, pero por ser perpendicular a r, entonces (A,B,C)=(2,1,0) luego

\alpha:\, 2x+y+D=0

Además, α pasa por P(0,1,1) luego

2\cdot 0+1+D=0\\\\D=-1

Por tanto, el plano buscado es: \alpha:\, 2x+y-1=0

Ahora buscamos el punto M=α∩r sustituyendo las paramétricas de la recta (obtenida en el apartado anterior) en la implícita del plano:

2\cdot (-5+2\lambda)+\lambda -1=0\\-10+4\lambda+\lambda -1=0\\5\lambda=11\\\lambda=11/5

Obtenemos M sustituyendo el valor λ=11/5 en las paramétricas de la recta, luego M(-3/5,11/5,2)

Por último, para obtener el punto simétrico de P utilizamos la fórmula del punto medio

\displaystyle \boxed{M=\frac{P+P'}2}

Despejamos P´

P'=2M-P=2(-3/5,11/5,2)-(0,1,1)=(-6/5,17/5,3)

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