Problema 17

Se sabe que la función f\, :\, \mathbb R\longrightarrow \mathbb R dada por

f(x)=\left \{\begin{array}{lcc}3x+2&\mbox{si}&x<0\\x^2+2a\cos(x)&\mbox{si}&0\leq x<\pi\\ax^2+b&\mbox{si}&x\geq \pi\end{array}\right .

es continua.

a) Determina a y b.

b) Estudia la derivabilidad de f.


Solución:

a) Por ser continua en x=0 se cumple

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=f(0)

\left \{\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}x^2+2a\cos(x)=2a\\\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}3x+2=2\\f(0)=2a\end{array}\right .

De donde resulta que 2a=2 y, por tanto, a=1.

Por ser continua en x=π se ha de cumplir

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow \pi^-}f(x)=f(\pi)

\left \{\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi^+}ax^2+b=a\pi^2+b\\\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi^-}x^2+2a\cos(x)=\pi^2-2a\\f(\pi)=a\pi^2+b\end{array}\right .

Sabiendo que a=1, solo hemos de resolver la ecuación

\pi^2+b=\pi^2-2

de donde resulta que b=-2


b) Para estudiar la derivabilidad, en primer lugar calculamos la función derivada para los valores de a y b en los que f(x) es continua:

f'(x)=\left \{\begin{array}{lcc}3&\mbox{si}&x<0\\2x-2\,\mbox{sen}(x)&\mbox{si}&0< x<\pi\\2x&\mbox{si}&x> \pi\end{array}\right .

Para que f(x) sea derivable en x=0 se debe cumplir

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)

\left \{\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}2x-2\,\mbox{sen}(x)=0\\\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}3=3\end{array}\right .

Como 0≠3 entonces f(x) no es derivable en x=0.

Para que f(x) sea derivable en x=π se debe cumplir

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi^+}f'(x)=\lim_{x\rightarrow \pi^-}f'(x)

\left \{\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi^+}2x=2\pi \\\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi^-}2x-2\,\mbox{sen}(x)=2\pi\end{array}\right .

Como ambos límites son iguales, f(x) es derivable en x=π.

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