Problema 18

Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat II

Considera la función dada por f(x)=\sqrt{3+|x|} para x\in [-3,3].

a) Expresa la función f definida a trozos.

b) Halla \displaystyle \int_{-3}^3 f(x)\, dx

Solución:

a) Expresamos la función f como una función a trozos

f(x)=\sqrt{3+|x|}=\left \{\begin{array}{lcc}\sqrt{3+x}&\mbox{si}&x\geq 0\\\sqrt{3-x}&\mbox{si}&x<0\end{array}\right .

b) Veamos si esta función es simétrica

f(-x)=\sqrt{3+|-x|}=\sqrt{3+|x|}=f(x)

Esta función es simétrica par ya que f(-x)=f(x) y, por tanto

\displaystyle \int_{-3}^3f(x)\,dx=2\int_{0}^3f(x)\,dx=2\int_{0}^3\sqrt{3+x}\,dx

Esta integral es inmediata de tipo potencial:

\displaystyle 2\int_{0}^3\sqrt{3+x}\,dx=2\int_{0}^3(3+x)^{1/2}\,dx=2\left [\frac{(3+x)^{3/2}}{3/2}\right ]_0^3=2\frac 23\left [6^{3/2}-3^{3/2}\right ]=\frac 43\left [6\sqrt{6}-3\sqrt{3}\right ]=8\sqrt 6-4\sqrt 3

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