Problema 19

Considera las matrices A=\begin{pmatrix}-2&0&0\\1&1&0\\4&2&-2\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}2&1&2\\0&-1&5\\0&0&2\end{pmatrix}

a) Calcula la matriz inversa de A+B.

b) Calcula el determinante de 2A^{-1}(A+B)^t


Solución:

a) En primer lugar calculamos A+B

A+B=\begin{pmatrix}-2&0&0\\1&1&0\\4&2&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&1&2\\0&-1&5\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&0&5\\4&2&0\end{pmatrix}

Esta matriz resultante es invertible ya que

\begin{vmatrix}0&1&2\\1&0&5\\4&2&0\end{vmatrix}=20+4=24\neq 0

\mbox{Adj }(A+B)=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}0&5\\2&0\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&5\\4&0\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&0\\4&2\end{vmatrix}\\-\begin{vmatrix}1&2\\2&0\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}0&2\\4&0\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}0&1\\4&2\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}1&2\\0&5\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}0&2\\1&5\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10&20&2\\4&-8&4\\5&2&-1\end{pmatrix}

(\mbox{Adj }(A+B))^t=\begin{pmatrix}-10&4&5\\20&-8&2\\2&4&-1\end{pmatrix}

\displaystyle (A+B)^{-1}=\frac 1{24}\begin{pmatrix}-10&4&5\\20&-8&2\\2&4&-1\end{pmatrix}


b) Para calcular el determinante propuesto, utilizaremos las propiedades de los determinantes.

\displaystyle |2A^{-1}(A+B)^t|\overset{P.6}=2^3|A^{-1}(A+B)^t|\overset{P.3}=2^3|A^{-1}|\cdot |(A+B)^t|=\\\\\overset{P.2}=2^3|A^{-1}|\cdot |A+B|\overset{P.4}=2^3\,\frac 1{|A|}\, |A+B|=\frac{8\,|A+B|}{|A|}

Falta calcular

|A|=\begin{vmatrix}-2&0&0\\1&1&0\\4&2&-2\end{vmatrix}=4

Luego

\displaystyle |2A^{-1}(A+B)^t|=\frac{8\,|A+B|}{|A|}=\frac{8\cdot 24}4=48

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