Problema 20

Considera los vectores \vec u=(2,3,4),\, \vec v=(-1,-1,-1)\mbox{ y }\vec w=(-1,\lambda,-5) siendo \lambda\in\mathbb R.

a) Halla los valores de \lambda para los que el paralelepípedo determinado por \vec u,\, \vec v\mbox{ y }\vec w tiene un volúmen de 6 unidades cúbicas.

b) Determina el valor de \lambda para el que \vec u,\, \vec v\mbox{ y }\vec w son linealmente independientes.


Solución:

a) El volumen del paralelepípedo formado por tres vectores es igual al módulo del producto mixto de esos vectores

V=|[\vec u,\vec v,\vec w]|

En nuestro caso el volumen ha de ser 6, luego

[\vec u,\vec v,\vec w]=\begin{vmatrix}2&3&4\\-1&-1&-1\\-1&\lambda&-5\end{vmatrix}=10+3-4\lambda -4-15+2\lambda=-6-2\lambda

Igualamos el valor absoluto de este producto mixto a 6 y resolvemos

|[\vec u,\vec v,\vec w]|=6\\\\|-6-2\lambda|=6

\left \{\begin{aligned}-6-2\lambda=6&\longrightarrow &\lambda=-6\\6+2\lambda=6&\longrightarrow &\lambda=0\end{aligned}\right.


b) Para que tres vectores en ℜ³ sean linealmente independientes, la matriz formada por esos vectores ha de tener rango 3, y por tanto un determinante distinto de 0.

\begin{vmatrix}2&3&4\\-1&-1&-1\\-1&\lambda&-5\end{vmatrix}=-6-2\lambda

como vimos anteriormente.

Este determinante vale 0 sí

-6-2\lambda=0\longrightarrow \lambda =-3

Por tanto, si λ≠-3, entonces los tres vectores son linealmente independientes.

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