Problema 22

Sea f\, :\, \mathbb R\longrightarrow \mathbb R la función definida por f(x)=x\,\mbox{arctg}(x). Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,π).


Solución:

Calculamos la integral de ƒ(x) utilizando el método de integración por partes

\displaystyle \int x\,\mbox{arctg}(x)\,dx=\circledast

\displaystyle u=\mbox{arctg}(x)\longrightarrow du=\frac 1{1+x^2}\,dx\\\\ dv=x\,dx\longrightarrow v=\frac{x^2}2

\displaystyle \circledast=\frac{x^2}2\,\mbox{arctg}(x)-\int \frac{x^2}2\cdot \frac 1{1+x^2}\,dx=\\\\=\frac 12\left (x^2\,\mbox{arctg}(x)-\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx\right )

Esta última integral resultante es de tipo racional. Como el grado del numerador es de grado mayor o igual que el denominador se hace la división y se obtiene el cociente y el resto, en la forma

\displaystyle \frac{\mbox{Numerador}}{\mbox{Denominador}}=\mbox{Cociente}+\frac{\mbox{Resto}}{\mbox{Denominador}}

\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac 1{1+x^2}

Sustituimos en la integral anterior

\displaystyle \frac 12\left (x^2\,\mbox{arctg}(x)-\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx\right )=\frac 12\left (x^2\,\mbox{arctg}(x)-\int 1-\frac 1{1+x^2}\,dx\right )=\\\\=\frac 12\left (x^2\,\mbox{arctg}(x)-\int 1\,dx+\int \frac 1{1+x^2}\,dx\right )=\\\\=\frac 12\left (x^2\,\mbox{arctg}(x)-x+\mbox{arctg}(x)\right )+k=\frac{(x^2+1)\,\mbox{arctg}(x)-x}2+k

Sabemos que esta primitiva vale π cuando x=0, por tanto

\displaystyle \frac{(0^2+1)\,\mbox{arctg}(0)-0}2+k=0+k=\pi

Por tanto k=π y la primitiva buscada es

\displaystyle F(x)=\frac{(x^2+1)\,\mbox{arctg}(x)-x}2+\pi

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