Problema 24

Sea r la recta que pasa por A(4,3,6) y B(-2,0,0) y sea s la recta dada por

\left \{\begin{array}{l}x=2+\lambda\\y=\lambda\\z=1-2\lambda\end{array}\right .

a) Determina la posición relativa de r y s.

b) Calcula, si existe, los puntos C de s tales que los vectores \overrightarrow{CA}\mbox{ y }\overrightarrow{CB} son ortogonales.


Solución:

Escribamos en primer lugar la recta r en forma vectorial. Para ello necesitamos un punto y un vector. El punto será el punto B y el vector será un vector \vec v_r que es proporcional a \overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AB}=(-2,0,0)-(4,3,6)=(-6,-3,-6)

Por tanto, dividiendo este vector por -3, resulta que \vec v_r=(2,1,2), luego la recta r es (x,y,z)=(-2,0,0)+\lambda (2,1,2)

a) Para determinar la posición relativa entre dos rectas primero calculamos el rango de la matriz formada por sus dos vectores directores

\mbox{rg}\begin{pmatrix}2&1&2\\1&1&-2\end{pmatrix}=2

ya que \begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}\neq 0

Por tanto, las dos rectas puede bien cruzarse o bien cortarse en un punto. Para distinguir ambos casos calculamos el rango de la matriz formada por ambos vectores y el vector formado por un punto de r y otro de s: \overrightarrow{BP_s}

\overrightarrow{BP_s}=(2,0,1)-(-2,0,0)=(4,0,1)

\begin{vmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{BP_s}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1&2\\1&1&-2\\4&0&1\end{vmatrix}=2-8-8-1\neq 0

Por tanto,

\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{BP_s}\end{pmatrix}=3

Lo cual significa que las dos rectas se cruzan.


b) Calcula, si existe, los puntos C de s tales que los vectores \overrightarrow{CA}\mbox{ y }\overrightarrow{CB} son ortogonales.

Por ser C un punto de la recta s, entonces dicho punto se escribe en la forma

C=(2+\lambda,\lambda,1-2\lambda)

Calculamos los vectores \overrightarrow{CA}\mbox{ y }\overrightarrow{CB}

\overrightarrow{CA}=(4,3,6)-(2+\lambda,\lambda,1-2\lambda)=(2-\lambda,3-\lambda,5+2\lambda)

\overrightarrow{CB}=(-2,0,0)-(2+\lambda,\lambda,1-2\lambda)=(-4-\lambda,-\lambda,-1+2\lambda)

Y ahora exigimos que ambos vectores sean ortogonales, por tanto, el producto escalar de ambos debe ser 0.

\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(2-\lambda,3-\lambda,5+2\lambda)\cdot (-4-\lambda,-\lambda,-1+2\lambda)=\\\\=-8-2\lambda+4\lambda+\lambda ^2-3\lambda+\lambda^2-5+10\lambda-2\lambda+4\lambda^2=\\\\=6\lambda^2+7\lambda-13=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son λ=-13/6 y λ=1. Sustituyendo ambos valores de λ en la expresión de C se obtienen los dos puntos que cumplen lo pedido.

Con λ=-13/6, C_1=(-1/6,-13/6,16/3)

Con λ=1, C_2=(3,1,-1)

Deja un comentario