Se considera la función f dada por para x≠1.
a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f.
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
Solución:
Para estudiar las asíntotas y la monotonía de una función hay que tener presente su dominio. En este caso,
a) En primer lugar calculamos, si tiene, la ecuación de la asíntota vertical
A la vista de los resultado, existe asíntota vertical y su ecuación es x=1.
Veamos ahora si existe asíntota horizontal
No existe, por tanto, asíntotas horizontales. Veamos si esta función racional tiene asíntota oblicua.
Existe asíntota oblicua y su ecuación es y=-3x-3.
b) Para estudiar la monotonía de una función, calculamos en primer lugar los puntos críticos, igualando la derivada de f a 0.
Resolvemos esta última ecuación
Cuyas soluciones son y
Teniendo en cuenta el dominio de la función,
Crece:
Decrece:
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