Problema 25

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II

Se considera la función f dada por \displaystyle f(x)=\frac{-3x^2+2}{x-1} para x≠1.

a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f.

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

Solución:

Para estudiar las asíntotas y la monotonía de una función hay que tener presente su dominio. En este caso, \mbox{Dom}(f)=\mathbb R\smallsetminus \{1\}

a) En primer lugar calculamos, si tiene, la ecuación de la asíntota vertical

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{-3x^2+2}{x-1}=\frac{-1}{0^+}=-\infty\\\\\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{-3x^2+2}{x-1}=\frac{-1}{0^-}=+\infty

A la vista de los resultado, existe asíntota vertical y su ecuación es x=1.

Veamos ahora si existe asíntota horizontal

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{-3x^2+2}{x-1}=\frac{-\infty}{+\infty}(\mbox{IND})=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{-3x^2/x+2/x}{x/x-1/x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{-3x+2/x}{1-1/x}=\frac{-\infty}1=-\infty\\\\\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{-3x^2+2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{-3x^2+2}{-x-1}=\frac{-\infty}{-\infty}(\mbox{IND})=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{-3x^2/x+2/x}{-x/x-1/x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{-3x+2/x}{-1-1/x}=\frac{-\infty}{-1}=+\infty

No existe, por tanto, asíntotas horizontales. Veamos si esta función racional tiene asíntota oblicua.

\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{-3x^2+2}{x(x-1)}=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{-3x^2+2}{x^2-x}=\frac{-\infty}{+\infty}(\mbox{IND})=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{-3x^2/x^2+2/x^2}{x^2/x^2-x/x^2}=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{-3+2/x^2}{1-1/x}=\frac{-3}1=-3\\\\n=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{-3x^2+2}{x-1}+3x=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{-3x^2+2+3x^2-3x}{x-1}=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{2-3x}{x-1}=\frac{\infty}{\infty}(\mbox{IND})=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{2/x-3x/x}{x/x-1/x}=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{2/x-3}{1-1/x}=-3

Existe asíntota oblicua y su ecuación es y=-3x-3.

b) Para estudiar la monotonía de una función, calculamos en primer lugar los puntos críticos, igualando la derivada de f a 0.

\displaystyle f'(x)=\frac{-6x(x-1)-(-3x^2+2)}{(x-1)^2}=\frac{-6x^2+6x+3x^2-2}{(x-1)^2}=\\\\=\frac{-3x^2+6x-2}{(x-1)^2}=0

Resolvemos esta última ecuación

\displaystyle \frac{-3x^2+6x-2}{(x-1)^2}=0\\\\-3x^2+6x-2=0

Cuyas soluciones son \displaystyle x_1=1-\frac 1{\sqrt 3}\approx 0.42 y \displaystyle x_2=1+\frac 1{\sqrt 3}\approx 1.58

Teniendo en cuenta el dominio de la función,

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &(-\infty ,1-\frac 1{\sqrt{3}})&(1-\frac 1{\sqrt{3}},1)&(1,1+\frac 1{\sqrt{3}}&(1+\frac 1{\sqrt{3}},+\infty )\\\hline f'(x)&-&+&+&-\\\hline f(x)&\mbox{decrece}&\mbox{crece}&\mbox{crece}&\mbox{decrece}\\\hline\end{array}

Crece: (1-\frac 1{\sqrt{3}},1)\cup (1,1+\frac 1{\sqrt{3}})

Decrece: (-\infty, 1-\frac 1{\sqrt{3}})\cup (1+\frac 1{\sqrt{3}},+\infty)

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