Problema 26

Sea f la función definida como f(x)=(x+2)\ln (x) para x>0, donde \ln (x) representa al logaritmo neperiano de x.

a) Calcula \displaystyle \int f(x)\,dx

b) Encuentra la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (1,0).


Solución:

\mbox{a) }\displaystyle \int (x+2)\ln (x)\,dx

Esta integral no es inmediata. Se puede resolver con el método de integración por partes:

\displaystyle u=\ln x\longrightarrow du=\frac 1x\,dx\\\\dv=x+2\,dx\longrightarrow v=\frac{x^2}2+2x

\displaystyle \int (x+2)\ln (x)\,dx=\left (\frac{x^2}2+2x\right )\ln x-\int\left (\frac{x^2}2+2x\right )\frac 1x\,dx=\\\\=\frac{x^2+4x}2\,\ln x-\frac 12\int\frac{x^2+4x}x\,dx=\\\\=\frac{x^2+4x}2\,\ln x-\frac 12\int (x+4)\,dx=\\\\=\frac{x^2+4x}2\,\ln x-\frac 12\left (\frac{x^2}2+4x\right )=\\\\=\frac{x^2+4x}2\,\ln x-\frac{x^2}4-2x+k=F(x)


b) Sabemos que F(1)=0, por tanto

\displaystyle F(1)=\frac{1^2+4\cdot 1}2\,\ln 1-\frac{1^2}4-2\cdot 1+k=\frac{-1}4-2+k=0

de donde k=9/4. Luego

\displaystyle F(x)=\frac{x^2+4x}2\,\ln x-\frac{x^2}4-2x+\frac 94

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