Problema 27

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}-1&1&2\\-2&2&4\\1&-1&-2\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, M=\begin{pmatrix}-1&1&2\end{pmatrix} y X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

a) Calcula BM

b) Razona si el sistema dado por AX=B tiene solución o no y, en caso afirmativo, cuántas soluciones tiene.

c) Resuelve AX=B.


Solución:

a) Calcula BM

BM=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1&2\\-2&2&4\\1&-1&-2\end{pmatrix}


b) La matriz de coeficientes de este sistema es A. Calculamos su rango sin necesidad de calcular determinantes ya que observamos que la fila segunda y tercera son proporcionales a la primera, por tanto el rango de A es 1.

La matriz ampliada es

\begin{pmatrix}-1&1&2&1\\-2&2&4&2\\1&-1&-2&-1\end{pmatrix}

En ella, observamos que las filas segunda y tercera son también proporcionales a la primera. Por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 1.

Siendo el número de incógnitas 3, por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.


c) Como el rango del sistema es 1, resolver el sistema AX=B es equivalente a resolver la ecuación –x+y+2z=1, pues las otras dos ecuaciones son combinación lineal de esta.

Como dijimos este es un sistema compatible indeterminado con 3-1=2 parámetros. Haciendo z=λ y x=μ, nos queda que y=1+μ-2λ.

La solución es:

\left \{\begin{array}{l}x=\mu\\y=1+\mu-2\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

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