Problema 28

Considera las rectas dadas por

r\equiv \left \{\begin{aligned}x&-y&&=-1\\x&&-z&=-1\end{aligned}\right.     y     s\equiv \left \{\begin{array}{l}x=1-t\\y=t\\z=2\end{array}\right.

a) Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s.

b) Halla la distancia entre las rectas r y s.


Solución:

a) La recta que corta perpendicularmente a otras dos es la denominada recta perpendicular común, t, cuya dirección es \vec v_t, y es la que tenemos que calcular.

Para calcular dicha recta hemos de calcular dos planos que cumplan los siguientes requisitos:

\pi_1:\left\{\begin{array}{l}r\subset \pi_1\\\pi_1\parallel \vec v_t\end{array}\right.\qquad \pi_2:\left\{\begin{array}{l}s\subset \pi_2\\\pi_2\parallel \vec v_t\end{array}\right.

La intersección de ambos planos es la recta perpendicular común.

t=\pi_1\cap\pi_2

  • Cálculamos puntos y vectores directores de las rectas r y s.

Para calcular punto y vector director de r, escribiremos r en forma paramétrica haciendo el cambio z=λ:

r\equiv\left \{\begin{aligned}x&-y&=&-1\\x&&=&-1+\lambda\end{aligned}\right.

de donde resulta la forma paramétrica de r:

r\equiv\left \{\begin{array}{l}x=-1+\lambda\\y=\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

La recta r pasa por el punto P_r(-1,0,0) y su vector director es \vec v_r=(1,1,1)

La recta s ya está en forma paramétrica y observamos que pasa por el punto P_s(1,0,2) y tiene vector director \vec v_s=(-1,1,0)

  • Calculamos el vector perpendicular común, \vec v_t

\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec \imath&\vec \jmath&\vec k\\1&1&1\\-1&1&0\end{vmatrix}=-\vec \imath-\vec \jmath+2\vec k=(-1,-1,2)

  • Calculamos el plano \pi_1 tal que r\subset \pi_1 y \pi_1\parallel \vec v_t

\pi_1:\,\begin{vmatrix}x+1&y&z\\1&1&1\\-1&-1&2\end{vmatrix}=(x+1)\cdot 3+y\cdot (-3)+z\cdot 0=3x+3-3y=0

O lo que es lo mismo \pi_1\equiv x-y+1=0

  • Calculamos el plano \pi_2 tal que s\subset \pi_2 y \pi_2\parallel \vec v_t

\pi_2:\,\begin{vmatrix}x-1&y&z-2\\-1&1&0\\-1&-1&2\end{vmatrix}=(x-1)\cdot 2+y\cdot 2+(z-2)\cdot 2=2x+2y+2z-6=0

De donde \pi_2\equiv x+y+z-3=0

  • La recta perpendicular común es t=\pi_1\cap\pi_2

t\equiv\left \{\begin{aligned}x&-y&&+1&=0\\x&+y&+z&-3&=0\end{aligned}\right.


b) Como vimos en el apartado anterior, \vec v_r\times\vec v_s\neq \vec 0 lo cual implica que r y s no tienen direcciones paralelas, por tanto, o se cortan o se cruzan. Calculemos la distancia entre ambas rectas con la fórmula:

\displaystyle d(r,s)=\frac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}

sabiendo que si este resultado fuese 0 se debe a que ambas rectas se cortan, y en caso contrario se cruzan.

Necesitamos el vector \overrightarrow{P_rP_s}

\overrightarrow{P_rP_s}=(1,0,2)-(-1,0,0)=(2,0,2)

[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]=\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&0\\2&0&2\end{vmatrix}=2-2+2=2

\vec v_r\times\vec v_s=(-1,-1,2) como vimos antes. Luego

\displaystyle d(r,s)=\frac{|2|}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}}=\frac 2{\sqrt 6}=\frac{\sqrt 6}3 u.l.

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