Problema 28

Considera las rectas dadas por

     y    

a) Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s.

b) Halla la distancia entre las rectas r y s.


Solución:

a) La recta que corta perpendicularmente a otras dos es la denominada recta perpendicular común, t, cuya dirección es , y es la que tenemos que calcular.

Para calcular dicha recta hemos de calcular dos planos que cumplan los siguientes requisitos:

La intersección de ambos planos es la recta perpendicular común.

  • Cálculamos puntos y vectores directores de las rectas r y s.

Para calcular punto y vector director de r, escribiremos r en forma paramétrica haciendo el cambio z=λ:

de donde resulta la forma paramétrica de r:

La recta r pasa por el punto y su vector director es

La recta s ya está en forma paramétrica y observamos que pasa por el punto y tiene vector director

  • Calculamos el vector perpendicular común,

  • Calculamos el plano tal que y

O lo que es lo mismo

  • Calculamos el plano tal que y

De donde

  • La recta perpendicular común es


b) Como vimos en el apartado anterior, lo cual implica que r y s no tienen direcciones paralelas, por tanto, o se cortan o se cruzan. Calculemos la distancia entre ambas rectas con la fórmula:

sabiendo que si este resultado fuese 0 se debe a que ambas rectas se cortan, y en caso contrario se cruzan.

Necesitamos el vector

como vimos antes. Luego

u.l.

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