Problema 29

Una cuerda de un metro de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferencia respectivamente.

Determina, si es posible, las longitudes de los trozos para que la suma de las áreas sea mínima.


Solución:

Con una cuerda de 1 metro tenemos que formar 2 figuras. Para la primera figura utilizaremos x metros, y para la segunda figura el resto, es decir, 1-x metros.

La primera figura es un cuadrado. Como para dicha figura hemos reservado x metros, el lado del cuadrado mide x/4, y su área vale \displaystyle A_1=\left (\frac x4\right )^2=\frac{x^2}{16}.

La segunda figura es una circunferencia cuyo perímetro l mide 1-x. Como el perímetro de una circunferencia es l=2πr, entonces el radio de dicha circunferencia es

\displaystyle r=\frac l{2\pi}=\frac{1-x}{2\pi}

y el área de esta circunferencia es, por tanto,

\displaystyle A_2=\pi r^2=\pi \left (\frac{1-x}{2\pi}\right )^2=\frac{(1-x)^2}{4\pi}

Nos piden que hallemos las longitudes de ambos trozos para que la suma de las áreas sea mínima. La función a optimizar es, por tanto, la función área total: A=A_1+A_2.

\displaystyle A=A_1+A_2=\frac{x^2}{16}+\frac{(1-x)^2}{4\pi}=A(x)

Esta función área es función de x y puede ser derivada. En los puntos óptimos la derivada de una función vale 0.

\displaystyle A'(x)=\frac{2x}{16}+\frac{2(1-x)(-1)}{4\pi}=\frac{2x}{16}-\frac{1-x}{2\pi}=0

Resolvemos la ecuación resultante para obtener los puntos críticos

\displaystyle \frac{2x}{16}-\frac{1-x}{2\pi}=0\\\\\frac{2x}{16}=\frac{1-x}{2\pi}\\\\2x\cdot 2\pi=(1-x)\cdot 16\\\\\pi x=(1-x)4\\\\\pi x=4-4x\\\\4x+\pi x=4\\\\(4+\pi)x=4\\\\x=\frac 4{4+\pi}

Para ver si este punto crítico es un mínimo, utilizamos el test de la derivada segunda:

\displaystyle A''(x)=\frac 2{16}-\frac{-1}{2\pi}=\frac 18+\frac 1{2\pi}

Como \displaystyle A''\left(\frac 4{4+\pi}\right)>0, entonces se trata de un mínimo.

Por último, queda decir cuanto miden los trozos de cuerda reservados a cada figura.

  • Al cuadrado: \displaystyle x=\frac 4{4+\pi} m
  • A la circunferencia: \displaystyle 1-x=1-\frac 4{4+\pi}=\frac{4+\pi-4}{4+\pi}=\frac{\pi}{4+\pi} m

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