Una cuerda de un metro de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferencia respectivamente.
Determina, si es posible, las longitudes de los trozos para que la suma de las áreas sea mínima.
Solución:
Con una cuerda de 1 metro tenemos que formar 2 figuras. Para la primera figura utilizaremos x metros, y para la segunda figura el resto, es decir, 1-x metros.
La primera figura es un cuadrado. Como para dicha figura hemos reservado x metros, el lado del cuadrado mide x/4, y su área vale .
La segunda figura es una circunferencia cuyo perímetro l mide 1-x. Como el perímetro de una circunferencia es l=2πr, entonces el radio de dicha circunferencia es
y el área de esta circunferencia es, por tanto,
Nos piden que hallemos las longitudes de ambos trozos para que la suma de las áreas sea mínima. La función a optimizar es, por tanto, la función área total:
Esta función área es función de x y puede ser derivada. En los puntos óptimos la derivada de una función vale 0.
Resolvemos la ecuación resultante para obtener los puntos críticos
Para ver si este punto crítico es un mínimo, utilizamos el test de la derivada segunda:
Como , entonces se trata de un mínimo.
Por último, queda decir cuanto miden los trozos de cuerda reservados a cada figura.
- Al cuadrado:
m
- A la circunferencia:
m
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