Problema 30

a) Halla \displaystyle \int \frac{x^2}{(1+x^3)^{3/2}}\,dx (sugerencia t=1+x³).

b) Halla la primitiva cuya gráfica pasa por (2,0).


Solución:

a) Haciendo uso de la sugerencia resulta que

\displaystyle t=1+x^3\\\\x^3=t-1\\\\x=(t-1)^{1/3}\longrightarrow x^2=(t-1)^{2/3}\\\\dx=\frac 13(t-1)^{-2/3}\,dt=\frac 1{3(t-1)^{2/3}}\,dt

Cambiamos de variable en la integral

\displaystyle \int \frac{x^2}{(1+x^3)^{3/2}}\,dx=\int\frac{(t-1)^{2/3}}{t^{3/2}}\,\frac 1{3(t-1)^{2/3}}\,dt=\frac 13\int t^{-3/2}\,dt=\\\\=\frac 13\frac{t^{-1/2}}{(-1/2)}=\frac{-2}{3\sqrt t}=\frac{-2}{3\sqrt{1+x^3}}+k=F(x)


b) La primitiva antes calculada es un función que pasa por (2,0), es decir F(2)=0

\displaystyle F(2)=\frac{-2}{3\sqrt{1+2^3}}+k=\frac{-2}{3\cdot 3}+k=\frac{-2}9+k=0

de donde k=2/9, por tanto, la primitiva buscada vale:

\displaystyle F(x)=\frac{-2}{3\sqrt{1+x^3}}+\frac 29

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