Problema 31

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left \{\begin{aligned}3x&+ky&&=1\\2x&-y&+kz&=1\\x&-3y&+2z&=1\end{aligned}\right.

del que se sabe que para un cierto valor de k es compatible indeterminado.

a) Determina el valor de k.

b) Resuelve el sistema para k=1.


Solución:

a) Escribimos el sistema de ecuaciones en forma matricial AX=B:

\begin{pmatrix}3&k&0\\2&-1&k\\1&-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

Como el número de variables es 3, según el teorema de Rouché-Fröbenius, para que el sistema sea compatible indeterminado, tendrá que ser el rango de la matriz de coeficientes menor de 3 y, por tanto, su determinante igual a 0.

\begin{vmatrix}3&k&0\\2&-1&k\\1&-3&2\end{vmatrix}=-6+k^2-4k+9k=k^2+5k-6=0

Esta última ecuación de segundo grado tiene por soluciones k=-6 y k=1.

  • Si k=-6 el rango de A=2 ya que \begin{vmatrix}3&-6\\2&-1\end{vmatrix}\neq 0

Calculamos el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}3&-6&1\\2&-1&1\\1&-3&1\end{vmatrix}=-3-6-6+1+12+9\neq 0

Por tanto, el rango de A* es 3 y el sistema incompatible.

  • Si k=1 el rango de A=2 ya que \begin{vmatrix}3&1\\2&-1\end{vmatrix}\neq 0. Calculamos el rango de la matriz ampliada

\begin{vmatrix}3&1&1\\2&-1&1\\1&-3&1\end{vmatrix}=-3+1-6+1-2+9=0

de donde se deduce que el rango de A* es 2 y, por tanto, el sistema es compatible indeterminado.


b) Para k=1 el sistema es, como se dijo anteriormente, compatible indeterminado y el rango de las matrices de coeficientes y ampliada es 2. Hemos utilizado para determinar dichos rangos elementos de las dos primeras ecuaciones, luego la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras.

\left \{\begin{aligned}3x&+y&&=1\\2x&-y&+z&=1\end{aligned}\right.

Haciendo z=λ resulta el sistema

\left \{\begin{aligned}3x&+y=&1\\2x&-y=&1-\lambda\end{aligned}\right.

Cuya solución utilizando la regla de Cramer es:

\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}1&1\\1-\lambda&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&-1\end{vmatrix}}=\frac{-1-1+\lambda}{-3-2}=\frac{\lambda -2}{-5}

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix}3&1\\2&1-\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&-1\end{vmatrix}}=\frac{3-3\lambda-2}{-3-2}=\frac{1-3\lambda}{-5}

z=\lambda

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