Considera el siguiente sistema de ecuaciones
del que se sabe que para un cierto valor de k es compatible indeterminado.
a) Determina el valor de k.
b) Resuelve el sistema para k=1.
Solución:
a) Escribimos el sistema de ecuaciones en forma matricial AX=B:
Como el número de variables es 3, según el teorema de Rouché-Fröbenius, para que el sistema sea compatible indeterminado, tendrá que ser el rango de la matriz de coeficientes menor de 3 y, por tanto, su determinante igual a 0.
Esta última ecuación de segundo grado tiene por soluciones k=-6 y k=1.
- Si k=-6 el rango de A=2 ya que
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, el rango de A* es 3 y el sistema incompatible.
- Si k=1 el rango de A=2 ya que
Calculamos el rango de la matriz ampliada
de donde se deduce que el rango de A* es 2 y, por tanto, el sistema es compatible indeterminado.
b) Para k=1 el sistema es, como se dijo anteriormente, compatible indeterminado y el rango de las matrices de coeficientes y ampliada es 2. Hemos utilizado para determinar dichos rangos elementos de las dos primeras ecuaciones, luego la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras.
Haciendo z=λ resulta el sistema
Cuya solución utilizando la regla de Cramer es:
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