Problema 32

Considera los puntos A(1,3,-1) y B(3,-1,-1).

a) Determina la ecuación del plano respecto del cual B es el simétrico de A.

b) Siendo C(5,1,5), calcula el área del triángulo de vértices A, B y C.


Solución:

a) El plano respecto del cual B es el simétrico de A será un plano que pasa por el punto medio de ambos M.

\displaystyle M=\frac{A+B}2=\frac{(1,3,-1)+(3,-1,-1)}2=\frac{(4,2,-2)}2=(2,1,-1)

Por otra parte, el plano ha de ser perpendicular al vector \overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AB}=(3,-1,-1)-(1,3,-1)=(2,-4,0)

Por tanto, este es el vector normal de dicho plano. Como tenemos el vector normal del plano, podemos escribir fácilmente su ecuación implícita

\pi:\,Ax+By+Cz+D=0\\\\\pi:\,2x-4y+D=0

Para calcular D imponemos que este plano pase por el punto M(2,1,-1) calculado anteriormente

2\cdot 2-4\cdot 1+D=0\\\\D=0

Por tanto, el plano buscado es:

\pi:\,2x-4y=0


b) Los puntos A, B y C forman un triángulo cuyo área S es

\displaystyle S=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|}2

\overrightarrow{AB}=(3,-1,-1)-(1,3,-1)=(2,-4,0)\\\\\overrightarrow{AC}=(5,1,5)-(1,3,-1)=(4,-2,6)

\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec \imath&\vec \jmath&\vec k\\2&-4&0\\4&-2&6\end{vmatrix}=(-24,-12,12)

\displaystyle S=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|}2=\frac{\sqrt{(-24)^2+(-12)^2+12^2}}2=\frac{\sqrt{864}}2=\sqrt{216}=6\sqrt 6 u.a.

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