Problema 33

Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de 20π m³. El material para las tapas cuesta 10 euros cada m² y el material para el resto del cilindro 8 euros cada m². Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.


Solución:

Primero definimos la función a optimizar. En nuestro caso, la función coste C.

El coste del depósito es el área del material necesario multiplicado por el precio unitario de ese material: A\cdot p_u.
Por tratarse de un cilindro, el área total del mismo es 2 veces el área de la base más el área lateral, luego la función coste es

C=2A_b\cdot 10+A_l\cdot 8

p35

Recordamos que el área de un círculo es A_b=\pi r^2, y el área lateral del cilindro es A_l=2\pi r h. Por tanto la función coste es:

C(r,h)=2\pi r^2\cdot 10+2\pi rh\cdot 8\\\\C(r,h)=20\pi r^2+16\pi rh

Por otra parte, sabemos que el volumen del cilindro es V=20\pi m³. Como el volumen de un cilindro es V=\pi r^2h, entonces

\displaystyle 20\pi=\pi r^2h~;\\\\h=\frac{20}{r^2}

Sustituyendo en la función coste:

\displaystyle C(r)=20\pi r^2+16\pi r\cdot \frac{20}{r^2}=20\pi r^2+\frac{320\pi}r

Para optimizar la función coste obtenemos sus puntos críticos:

\displaystyle C'(r)=40\pi r-\frac{320\pi}{r^2}=0

Resolvemos esta ecuación:

\displaystyle 40\pi r-\frac{320\pi}{r^2}=0~;\\\\40\pi r=\frac{320\pi}{r^2}~;\\\\40\pi r^3=320\pi~;\\\\r^3=\frac{320\pi}{40\pi}=8~;\\\\r=\sqrt[3]{8}=2\mbox{ m}

Veamos si este valor de r da lugar a un máximo o a un mínimo. Para ello, aplicamos el test de la derivada segunda:

\displaystyle C''(r)=40\pi+\frac{320\pi\cdot 2r}{r^4}=40\pi+\frac{640\pi}{r^3}\\\\C''(2)>0

Por tanto, el valor obtenido de r da lugar a un mínimo en la función coste. Nos queda calcular la altura del cilindro:

\displaystyle h=\frac{20}{2^2}=5 m

Más problemas de optimización.

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