Problema 33

Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de 20π m³. El material para las tapas cuesta 10 euros cada m² y el material para el resto del cilindro 8 euros cada m². Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.

Solución:

Primero definimos la función a optimizar. En nuestro caso, la función coste C.

El coste del depósito es el área del material necesario multiplicado por el precio unitario de ese material: $A\cdot p_u$ .
Por tratarse de un cilindro, el área total del mismo es 2 veces el área de la base más el área lateral, luego la función coste es

$C=2A_b\cdot 10+A_l\cdot 8$

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Recordamos que el área de un círculo es $A_b=\pi r^2$ , y el área lateral del cilindro es $A_l=2\pi r h$ . Por tanto la función coste es:

$C(r,h)=2\pi r^2\cdot 10+2\pi rh\cdot 8\\\\C(r,h)=20\pi r^2+16\pi rh$

Por otra parte, sabemos que el volumen del cilindro es $V=20\pi$ m³. Como el volumen de un cilindro es $V=\pi r^2h$ , entonces

$\displaystyle 20\pi=\pi r^2h~;\\\\h=\frac{20}{r^2}$

Sustituyendo en la función coste:

$\displaystyle C(r)=20\pi r^2+16\pi r\cdot \frac{20}{r^2}=20\pi r^2+\frac{320\pi}r$

Para optimizar la función coste obtenemos sus puntos críticos:

$\displaystyle C'(r)=40\pi r-\frac{320\pi}{r^2}=0$

Resolvemos esta ecuación:

$\displaystyle 40\pi r-\frac{320\pi}{r^2}=0~;\\\\40\pi r=\frac{320\pi}{r^2}~;\\\\40\pi r^3=320\pi~;\\\\r^3=\frac{320\pi}{40\pi}=8~;\\\\r=\sqrt[3]{8}=2\mbox{ m}$