Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de 20π m³. El material para las tapas cuesta 10 euros cada m² y el material para el resto del cilindro 8 euros cada m². Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.
Solución:
Primero definimos la función a optimizar. En nuestro caso, la función coste C.
El coste del depósito es el área del material necesario multiplicado por el precio unitario de ese material: .
Por tratarse de un cilindro, el área total del mismo es 2 veces el área de la base más el área lateral, luego la función coste es
Recordamos que el área de un círculo es , y el área lateral del cilindro es
. Por tanto la función coste es:
Por otra parte, sabemos que el volumen del cilindro es m³. Como el volumen de un cilindro es
, entonces
Sustituyendo en la función coste:
Para optimizar la función coste obtenemos sus puntos críticos:
Resolvemos esta ecuación:
Veamos si este valor de r da lugar a un máximo o a un mínimo. Para ello, aplicamos el test de la derivada segunda:
Por tanto, el valor obtenido de r da lugar a un mínimo en la función coste. Nos queda calcular la altura del cilindro:
m
♦