Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de 20π m³. El material para las tapas cuesta 10 euros cada m² y el material para el resto del cilindro 8 euros cada m². Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.
Solución:
Primero definimos la función a optimizar. En nuestro caso, la función coste C.
El coste del depósito es el área del material necesario multiplicado por el precio unitario de ese material: 
Por tratarse de un cilindro, el área total del mismo es 2 veces el área de la base más el área lateral, luego la función coste es
Recordamos que el área de un círculo es 
Por otra parte, sabemos que el volumen del cilindro es 
Sustituyendo en la función coste:
Para optimizar la función coste obtenemos sus puntos críticos:
Resolvemos esta ecuación:
![\displaystyle 40\pi r-\frac{320\pi}{r^2}=0~;\\\\40\pi r=\frac{320\pi}{r^2}~;\\\\40\pi r^3=320\pi~;\\\\r^3=\frac{320\pi}{40\pi}=8~;\\\\r=\sqrt[3]{8}=2\mbox{ m}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+40%5Cpi+r-%5Cfrac%7B320%5Cpi%7D%7Br%5E2%7D%3D0%7E%3B%5C%5C%5C%5C40%5Cpi+r%3D%5Cfrac%7B320%5Cpi%7D%7Br%5E2%7D%7E%3B%5C%5C%5C%5C40%5Cpi+r%5E3%3D320%5Cpi%7E%3B%5C%5C%5C%5Cr%5E3%3D%5Cfrac%7B320%5Cpi%7D%7B40%5Cpi%7D%3D8%7E%3B%5C%5C%5C%5Cr%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B8%7D%3D2%5Cmbox%7B+m%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002)
Veamos si este valor de r da lugar a un máximo o a un mínimo. Para ello, aplicamos el test de la derivada segunda:
Por tanto, el valor obtenido de r da lugar a un mínimo en la función coste. Nos queda calcular la altura del cilindro:
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