Problema 34

Sea \displaystyle I=\int _0^8 \frac 1{2+\sqrt{x+1}}\,dx

a) Expresa I aplicando el cambio de variable t=2+\sqrt{x+1}

b) Calcula el valor de I.


Solución:

a) Aplicamos el cambio de variable

t=2+\sqrt{x+1}\\\\\sqrt{x+1}=t-2\\\\x+1=(t-2)^2\\\\x=(t-2)^2-1\longrightarrow dx=2(t-2)\,dt\\\\x=0\longrightarrow t=2+\sqrt{0+1}=3\\\\x=8\longrightarrow t=2+\sqrt{8+1}=5

Tras el cambio de variable, la integral original resulta en

\displaystyle I=\int _0^8 \frac 1{2+\sqrt{x+1}}\,dx=\int_3^5\frac 1{t}\,2(t-2)\,dt=2\int_3^5\frac {t-2}{t}\,dt


b) La integral resultante en el apartado anterior es una integra racional. Hacemos la descomposición de la fracción en cociente y resto:

\displaystyle \frac{t-2}t=1-\frac 2t

luego

\displaystyle I=2\int_3^5\frac {t-2}{t}\,dt=2\int_3^51\,dt-2\int_3^5\frac 2t\,dt=\\\\=2[t]_3^5-4[\ln |t|]_3^5=2(5-3)-4(\ln 5-\ln 3)=4-4\ln(5/3)

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