Problema 35

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II

Considera la matriz A=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&0\end{pmatrix}.

a) Comprueba que AA^t-2A=I (A^t denota la traspuesta de A e I la matriz identidad).

b) Calcula A^{-1}.

c) Determina, si existe, la matriz X que verifica XA+I=3A.

a) Calculamos AA^t-2A

AA^t-2A=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2&-1\\-1&0\end{pmatrix}-2\cdot \begin{pmatrix}2&-1\\-1&0\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&-2\\-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

Luego, en efecto, AA^t-2A=I.

b) Calculamos la matriz inversa de A utilizando la fórmula

\displaystyle A^{-1}=\frac 1{|A|}\cdot (\mbox{Adj }A)^t

|A|=\begin{vmatrix}2&-1\\-1&0\end{vmatrix}=-1

\mbox{Adj }A=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}

(\mbox{Adj }A)^t=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}

\displaystyle A^{-1}=\frac 1{-1}\cdot \begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&-2\end{pmatrix}

c) De la ecuación XA+I=3A, despejamos X

XA+I=3A\\\\XA=3A-I\\\\X=(3A-I)A^{-1}

Calculamos X

X=\left [3\cdot\begin{pmatrix}2&-1\\-1&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\right ]\cdot \begin{pmatrix}0&-1\\-1&-2\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}5&-3\\-3&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&-1\\-1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\1&5\end{pmatrix}

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