Problema 36

Considera los puntos A(-1,-2,-1) y B(1,0,1).

a) Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos.

b) Calcula la distancia de P(-1,0,1) a la recta que pasa por los puntos A y B.


Solución:

a) El plano π respecto del cual los puntos A y B son simétricos es un plano que pasa por el medio de ambos, M, y es perpendicular al vector que va de A a B.

\displaystyle M=\frac{A+B}2=\frac{(-1,-2,-1)+(1,0,1)}2=\frac{(0,-2,0}2=(0,-1,0)

\overrightarrow{AB}=(1,0,1)-(-1,-2,-1)=(2,2,2)

El ecuación implícita del plano π es 2x+2y+2z+D=0. Imponemos que dicho plano pase por el punto M:

2\cdot 0+2\cdot (-1)+2\cdot 0+D=0\\\\D=2

Luego el plano π es 2x+2y+2z+2=0, que simplificando resulta π: x+y+z+1=0


b) Primero calculamos la recta r que pasa por A y B. En forma vectorial es:

r:\,(x,y,z)=(1,0,1)+\lambda (1,1,1)

Como vector director de r hemos utilizado un vector \vec v_r proporcional al vector \overrightarrow{AB}.

La distancia del punto P hasta la recta r es:

\displaystyle \mbox{d}(P,r)=\frac{|\overrightarrow{PB}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}

\overrightarrow{PB}=(1,0,1)-(-1,0,1)=(2,0,0)

\overrightarrow{PB}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec \imath&\vec \jmath&\vec k\\2&0&0\\1&1&1\end{vmatrix}=2\vec k-2\vec \jmath=(0,-2,2)

Luego la distancia es

\displaystyle \mbox{d}(P,r)=\frac{\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{\sqrt 8}{\sqrt 3}=\frac{2\sqrt 6}3 u.l.

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