Problema 37

Considera la función f:\,\mathbb R\longrightarrow \mathbb R dada por f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Calcula a, b, c y d sabiendo que f tiene un extremo relativo en (0,1) y su gráfica un punto de inflexión en (1,-1).


Solución:

Sabemos varias cosas. La primera es que f tiene un extremo relativo en (0,1). De aquí se deducen dos ecuaciones

f(0)=1\\f'(0)=0

Luego nos dicen que la gráfica tiene un punto de inflexión en (1,-1). De aquí se deducen otras dos ecuaciones:

f(1)=-1\\f''(1)=0

Estas 4 ecuaciones nos serán necesarias para obtener las 4 incógnitas que nos piden.

Empezamos calculando las derivadas primera y segunda.

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f''(x)=6ax+2b

Utilizamos las ecuaciones antes planteadas:

f(0)=a\cdot0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d=d=1\\f'(0)=3a\cdot 0^2+2b\cdot 0+c=c=0\\f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=a+b+c+d=-1\\f''(1)=6a\cdot 1+2b=6a+2b=0

De la primera ecuación resulta d=1. De la segunda ecuación resulta c=0. Sustituyendo en las otras dos ecuaciones resulta el siguiente sistema

\left \{\begin{array}{l}a+b=-2\\6a+2b=0\end{array}\right.

De la segunda ecuación resulta que b=-3a. Sustituyendo en la primera

a-3a=-2\\-2a=-2\\a=1

Y, por tanto, b=-3.

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