Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por 
a) Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de f y las rectas.
b) Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.
c) Calcula el área.
Solución:
a) La función 
La recta y=x-5 corresponde a otra función elemental que para ser representada es suficiente con calcular dos puntos, por ejemplo: (0,-4) y (5,0).
La última función que limita el recinto es el propio eje de abscisas.
Solo resta calcular los puntos de corte entre la función f y las rectas.
- Corte de f con el eje de abscisas y=0
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación
Por tanto, el punto de f corta al eje de abscisas es (1,0).
- Corte de f con la recta y=x-5
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 3 y 9. Sin embargo, solo x=9 satisface la ecuación original. Por tanto, el punto donde se cortan f y la recta y=x-5 es: (9,4).
Podemos ver la representación gráfica, donde se muestra la región limitada por las tres funciones.
b) El área total es:
c) Cálculo del área:
![\displaystyle A_t=\int_1^9(2x-2)^{1/2}\,dx-\int_5^9x-5\,dx=\\\\=\frac 12\int_1^92(2x-2)^{1/2}\,dx-\left [\frac{x^2}2-5x\right ]_5^9=\\\\=\frac 12\left [\frac{(2x-2)^{3/2}}{3/2}\right ]_1^9-\left [\left (\frac{81}2-45\right )-\left (\frac{25}2-25\right )\right ]=\\\\=\frac 13\left ((16)^{3/2}\right )-8=\frac{64}3-8=\frac{40}3\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+A_t%3D%5Cint_1%5E9%282x-2%29%5E%7B1%2F2%7D%5C%2Cdx-%5Cint_5%5E9x-5%5C%2Cdx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac+12%5Cint_1%5E92%282x-2%29%5E%7B1%2F2%7D%5C%2Cdx-%5Cleft+%5B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D2-5x%5Cright+%5D_5%5E9%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac+12%5Cleft+%5B%5Cfrac%7B%282x-2%29%5E%7B3%2F2%7D%7D%7B3%2F2%7D%5Cright+%5D_1%5E9-%5Cleft+%5B%5Cleft+%28%5Cfrac%7B81%7D2-45%5Cright+%29-%5Cleft+%28%5Cfrac%7B25%7D2-25%5Cright+%29%5Cright+%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac+13%5Cleft+%28%2816%29%5E%7B3%2F2%7D%5Cright+%29-8%3D%5Cfrac%7B64%7D3-8%3D%5Cfrac%7B40%7D3%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle A_t=\int_1^9(2x-2)^{1/2}\,dx-\int_5^9x-5\,dx=\\\\=\frac 12\int_1^92(2x-2)^{1/2}\,dx-\left [\frac{x^2}2-5x\right ]_5^9=\\\\=\frac 12\left [\frac{(2x-2)^{3/2}}{3/2}\right ]_1^9-\left [\left (\frac{81}2-45\right )-\left (\frac{25}2-25\right )\right ]=\\\\=\frac 13\left ((16)^{3/2}\right )-8=\frac{64}3-8=\frac{40}3\mbox{ u.a.}")
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