Problema 38

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por f(x)=\sqrt{2x-2} para x≥1, la recta y=x-5 y el eje de abscisas.

a) Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de f y las rectas.

b) Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.

c) Calcula el área.

Solución:

a) La función f(x)=\sqrt{2x-2} es una función elemental creciente cuyo dominio es \mbox{Dom }f(x)=\{x\in \mathbb R/2x-2\geq0\}=[1,+\infty). Para representarla tomamos un par de puntos: (1,0) y (9,4).

La recta y=x-5 corresponde a otra función elemental que para ser representada es suficiente con calcular dos puntos, por ejemplo: (0,-4) y (5,0).

La última función que limita el recinto es el propio eje de abscisas.

Solo resta calcular los puntos de corte entre la función f y las rectas.

  • Corte de f con el eje de abscisas y=0

\sqrt{2x-2}=0

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación

2x-2=0\\\\2x=2\\\\x=1

Por tanto, el punto de f corta al eje de abscisas es (1,0).

  • Corte de f con la recta y=x-5

\sqrt{2x-2}=x-5

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación

p42

2x-2=x^2+25-10x\\\\x^2-12x+27=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 3 y 9. Sin embargo, solo x=9 satisface la ecuación original. Por tanto, el punto donde se cortan f y la recta y=x-5 es: (9,4).

Podemos ver la representación gráfica, donde se muestra la región limitada por las tres funciones.

b) El área total es:

\displaystyle A_t=A_1+A_2=\int_1^5\sqrt{2x-2}\,dx+\int_5^9\sqrt{2x-2}-(x-5)\,dx=\\\\=\int_1^9\sqrt{2x-2}\,dx-\int_5^9x-5\,dx

c) Cálculo del área:

\displaystyle A_t=\int_1^9(2x-2)^{1/2}\,dx-\int_5^9x-5\,dx=\\\\=\frac 12\int_1^92(2x-2)^{1/2}\,dx-\left [\frac{x^2}2-5x\right ]_5^9=\\\\=\frac 12\left [\frac{(2x-2)^{3/2}}{3/2}\right ]_1^9-\left [\left (\frac{81}2-45\right )-\left (\frac{25}2-25\right )\right ]=\\\\=\frac 13\left ((16)^{3/2}\right )-8=\frac{64}3-8=\frac{40}3\mbox{ u.a.}

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