Problema 38

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por para x≥1, la recta y=x-5 y el eje de abscisas.

a) Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de f y las rectas.

b) Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.

c) Calcula el área.


Solución:

a) La función es una función elemental creciente cuyo dominio es . Para representarla tomamos un par de puntos: (1,0) y (9,4).

La recta y=x-5 corresponde a otra función elemental que para ser representada es suficiente con calcular dos puntos, por ejemplo: (0,-4) y (5,0).

La última función que limita el recinto es el propio eje de abscisas.

Solo resta calcular los puntos de corte entre la función f y las rectas.

  • Corte de f con el eje de abscisas y=0

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación

Por tanto, el punto de f corta al eje de abscisas es (1,0).

  • Corte de f con la recta y=x-5

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 3 y 9. Sin embargo, solo x=9 satisface la ecuación original. Por tanto, el punto donde se cortan f y la recta y=x-5 es: (9,4).

Podemos ver la representación gráfica, donde se muestra la región limitada por las tres funciones.


b) El área total es:


c) Cálculo del área:

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