Problema 39

Sea A una matriz 3×3 tal que |2A|=8.

a) ¿Cuánto vale |A|?

b) Siendo B la matriz que se obtiene de A multiplicando por 3 la primera fila y por -1 la tercera, ¿cuánto vale |B|?

c) Determina los valores de x para los que la siguiente matriz A verifica que |2A|=8,

$A=\begin{pmatrix}x&1&1\\x+1&2&2\\x&-x+2&1\end{pmatrix}$

Solución:

a) Aplicamos las propiedades de los determinantes.

$|2A|\overset{P.6}=2^3|A|=8\cdot |A|=8$

Por tanto, |A|=1.

b) Siendo $A=\begin{pmatrix}F_1\\F_2\\F_3\end{pmatrix}$ entonces |B| vale:

$|B|=\begin{pmatrix}3F_1\\F_2\\-F_3\end{pmatrix}\overset{P.6}=-3\begin{pmatrix}F_1\\F_2\\F_3\end{pmatrix}=-3\cdot |A|=-24$

c) Como vimos en el apartado a), |2A|=8 significa que |A|=1.

$|A|=\begin{pmatrix}x&1&1\\x+1&2&2\\x&-x+2&1\end{pmatrix}=\\\\=2x+2x+(-x+2)(x+1)-2x-(x+1)-2x(-x+2)=\\\\=4x-x^2-x+2x+2-2x-x-1+2x^2-4x=x^2-2x+1$

Este determinante vale 1, por tanto

$x^2-2x+1=1\\\\x^2-2x=0\\\\x(x-2)=0$

Ecuación cuya solución es x=0 y x=2.

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