Problema 40

Considera los puntos A(1,1,1), B(0,-2,2), C(-1,0,2) y D(2,-1,-2).

a) Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.

b) Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano determinado por los puntos A, B y C.

Solución:

a) Construimos los tres vectores que forman el tetraedro. p40

$\overrightarrow{AB}=(0,-2,2)-(1,1,1)=(-1,-3,1)\\\\\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)-(1,1,1)=(-2,-1,1)\\\\\overrightarrow{AD}=(2,-1,-2)-(1,1,1)=(1,-2,-3)$

El volumen del tetraedro formado por los tres vectores calculados antes es:

$\displaystyle V=\frac 16|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]|=\frac 16\cdot\left |\begin{vmatrix}-1&-3&1\\-2&-1&1\\1&-2&-3\end{vmatrix}\right |=\\\\=\frac 16\cdot |-3-3+4+1+18-2|=\frac{15}6\mbox{ u.v.}$

b) Los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ son los vectores directores del plano π. Como queremos que la recta r sea perpendicular a π, entonces el vector director de la recta será paralela al vector normal del plano

$\vec v_r=\vec n_\pi=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec \imath&\vec \jmath&\vec k\\-1&-3&1\\-2&-1&1\end{vmatrix}=-3\vec \imath-2\vec \jmath+\vec k-6\vec k+\vec \jmath+\vec \imath=(-2,-1,-5)$