Problema 40

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considera los puntos A(1,1,1), B(0,-2,2), C(-1,0,2) y D(2,-1,-2).

a) Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.

b) Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano determinado por los puntos A, B y C.

Solución:

a) Construimos los tres vectores que forman el tetraedro.p40

\overrightarrow{AB}=(0,-2,2)-(1,1,1)=(-1,-3,1)\\\\\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)-(1,1,1)=(-2,-1,1)\\\\\overrightarrow{AD}=(2,-1,-2)-(1,1,1)=(1,-2,-3)

El volumen del tetraedro formado por los tres vectores calculados antes es:

\displaystyle V=\frac 16|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]|=\frac 16\cdot\left |\begin{vmatrix}-1&-3&1\\-2&-1&1\\1&-2&-3\end{vmatrix}\right |=\\\\=\frac 16\cdot |-3-3+4+1+18-2|=\frac{15}6\mbox{ u.v.}

b) Los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC} son los vectores directores del plano π. Como queremos que la recta r sea perpendicular a π, entonces el vector director de la recta será paralela al vector normal del plano

\vec v_r=\vec n_\pi=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec \imath&\vec \jmath&\vec k\\-1&-3&1\\-2&-1&1\end{vmatrix}=-3\vec \imath-2\vec \jmath+\vec k-6\vec k+\vec \jmath+\vec \imath=(-2,-1,-5)

Además queremos que la recta r pase por el punto D(2,-1,-2), luego la ecuación paramétrica de la recta es:

r\equiv \left\{\begin{array}{l}x=2-2\lambda\\y=-1-\lambda\\z=-2-5\lambda\end{array}\right.

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