Problema 41

Calcula la función polinómica, de grado 3, de la que se sabe que tiene un extremo relativo en el punto (0,2) y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa x=1 es la recta x+y=3.


Solución:

La función pedida es de la forma

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Por tener un extremo relativo en el punto (0,2) sabemos que:

  • f(0)=2
  • f'(0)=0

Como la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x=1 es la recta x+y=3, esto quiere decir que

  • f(1)=2 que es el valor que toma la recta x+y=3 en x=1.
  • f'(1)=-1 puesto que la pendiente de la recta tangente x+y=3 es igual al valor de la función derivada en el punto de tangencia.

Con estas cuatro ecuaciones, estamos en condiciones de obtener el valor de las cuatro incógnitas, a, b, c y d.

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\\\f'(x)=3ax^2+2bx+c

Sustituimos los valores antes planteados.

f(0)=d\longrightarrow d=2\\\\f'(0)=c\longrightarrow c=0\\\\f(1)=a+b+c+d\longrightarrow a+b+c+d=2\\\\f'(1)=3a+2b+c\longrightarrow 3a+2b+c=-1

La solución de este sistema de ecuaciones es: a=-1,\,b=1,\,c=0,\,d=2.

La función buscada es: f(x)=-x^3+x^2+2

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