Problema 43

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por AX=B siendo

A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&m&m\\m&1&3\end{pmatrix}\qquad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1\\1\\m\end{pmatrix}

a) Discute el sistema según los valores de m.

b) Para m=2, si es posible, resuelve el sistema dado.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius sabiendo que el número de incógnitas n es 3. Calculamos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes A en función del parámetro m.

\begin{vmatrix}1&-1&1\\1&m&m\\m&1&3\end{vmatrix}=3m-m^2+1-m^2+3-m=-2m^2+2m+4

Igualamos este resultado a 0 y resolvemos.

-2m^2+2m+4=0 cuyas soluciones son m=-1 y m=2.

  • Caso m≠-1 y m≠2

rg A=rg A*=3, por tanto, el sistema es compatible determinado

  • Caso m=-1

\begin{vmatrix}-1&-1\\1&3\end{vmatrix}=-3+1\neq 0 luego el rg A=2. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada.

\begin{vmatrix}-1&1&1\\-1&-1&1\\1&3&-1\end{vmatrix}=-1+1-3+1-1+3=0

El rango de la matriz ampliada es, por tanto, 2, y el sistema es en este caso compatible indeterminado.

  • Caso m=2

\begin{vmatrix}1&-1\\1&2\end{vmatrix}=2+1\neq 0, por tanto, el rango de la matriz de coeficientes es 2. Calculamos el rango de la matriz ampliada.

\begin{vmatrix}1&-1&1\\1&2&1\\2&1&2\end{vmatrix}=4-2+1-4+2-1=0

El rango de la matriz ampliada es 2 y, por tanto, el sistema es compatible indeterminado.


b) Para el caso m=2 el sistema es compatible indeterminado como vimos en el apartado anterior. En este caso el rango de las matrices de coeficientes y ampliada es 2, luego el sistema original es equivalente a

\left \{\begin{aligned}x-y+z&=1\\x+2y+2z&=1\end{aligned}\right.

La solución de este sistema compatible indeterminado utilizará n-rg A=3-2=1 parámetros.

Hacemos el cambio z=λ y el sistema se convierte en

\left \{\begin{aligned}x-y&=1-\lambda\\x+2y&=1-2\lambda\end{aligned}\right.

Para resolver este sistema utilizamos la regla de Cramer.

\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}1-\lambda&-1\\1-2\lambda&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1\\1&2\end{vmatrix}}=\frac{2-2\lambda+1-2\lambda}3=\frac{3-4\lambda}3

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix}1&1-\lambda\\1&1-2\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1\\1&2\end{vmatrix}}=\frac{1-2\lambda-1+\lambda}3=\frac{-\lambda}3

z=\lambda

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