Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por AX=B siendo
a) Discute el sistema según los valores de m.
b) Para m=2, si es posible, resuelve el sistema dado.
Solución:
a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius sabiendo que el número de incógnitas n es 3. Calculamos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes A en función del parámetro m.
Igualamos este resultado a 0 y resolvemos.
cuyas soluciones son m=-1 y m=2.
- Caso m≠-1 y m≠2
rg A=rg A*=3, por tanto, el sistema es compatible determinado
- Caso m=-1
luego el rg A=2. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada.
El rango de la matriz ampliada es, por tanto, 2, y el sistema es en este caso compatible indeterminado.
- Caso m=2
, por tanto, el rango de la matriz de coeficientes es 2. Calculamos el rango de la matriz ampliada.
El rango de la matriz ampliada es 2 y, por tanto, el sistema es compatible indeterminado.
b) Para el caso m=2 el sistema es compatible indeterminado como vimos en el apartado anterior. En este caso el rango de las matrices de coeficientes y ampliada es 2, luego el sistema original es equivalente a
La solución de este sistema compatible indeterminado utilizará n-rg A=3-2=1 parámetros.
Hacemos el cambio z=λ y el sistema se convierte en
Para resolver este sistema utilizamos la regla de Cramer.
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