Problema 44

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Sea π el plano determinado por los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,λ), siendo λ un número real, y sea r la recta dada por r\equiv\left \{\begin{aligned}y-z\ &=&3\\-x+2y&=&3\end{aligned}\right.

a) Halla la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r.

b) Estudia la posición relativa de r y π según los valores de λ.

Solución:

a) Hay varias formas de resolver este problema. Aquí se hará de la siguiente forma: primero obtenemos las ecuaciones paramétricas de r. Para ello, en las ecuaciones implícitas de r, asignamos z=μ, por ejemplo. Siendo así, y=3+μ, x=3+2μ. Por tanto, un punto cualquiera de r es P(3,3,0) y el vector director de r es \vec v_r=(2,1,1).

Calculamos el vector \overrightarrow{AP}=(3,3,0)-(1,0,0)=(2,3,0)

El plano α buscado pasa por el punto A y tiene por vectores directores \vec v_r\mbox{ y }\overrightarrow{AP}

\begin{vmatrix}x-1&y&z\\2&3&0\\2&1&1\end{vmatrix}=3(x-1)+2z-6z-2y=3x-2y-4z-3

Por tanto, \alpha: 3x-2y-4z-3=0.

b) Primero obtenemos la ecuación implícita del plano π. Dicho plano pasa por el punto A y tiene por vectores directores a \overrightarrow{AB}\mbox{ y }\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{AB}=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0)\\\\\overrightarrow{AC}=(0,0,\lambda)-(1,0,0)=(-1,0,\lambda)

\pi:~\begin{vmatrix}x-1&y&z\\-1&1&0\\-1&0&\lambda\end{vmatrix}=\lambda(x-1)+z+\lambda y=0

Para estudiar la posición relativa entre r y π sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano.

r\equiv\left\{\begin{aligned}x&=3+2\mu\\y&=3+\mu\\z&=\mu\end{aligned}\right.\\\\\pi: \lambda(x-1)+z+\lambda y=0

\lambda(3+2\mu -1)+\mu+\lambda(3+\mu)=0\\\\2\lambda+2\lambda\mu+\mu+3\lambda+\lambda\mu=0\\\\(3\lambda+1)\mu=-5\lambda

Resolvemos la ecuación 3λ+1=0→λ=-1/3. Entonces:

  • Si λ≠-1/3, entonces la ecuación (3\lambda+1)\mu=-5\lambda tiene solución única \displaystyle \mu=\frac{-5\lambda}{3\lambda+1} lo cual quiere decir que recta y plano se cortan en el punto Q(3+2μ,3+μ,μ).
  • Si λ=-1/3 entonces la ecuación (3\lambda+1)\mu=-5\lambda se convierte en 0=5/3, lo cual es falso y significa que recta y punto no se cortan, es decir, recta y plano son paralelos.

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