Sea π el plano determinado por los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,λ), siendo λ un número real, y sea r la recta dada por
a) Halla la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r.
b) Estudia la posición relativa de r y π según los valores de λ.
Solución:
a) Hay varias formas de resolver este problema. Aquí se hará de la siguiente forma: primero obtenemos las ecuaciones paramétricas de r. Para ello, en las ecuaciones implícitas de r, asignamos z=μ, por ejemplo. Siendo así, y=3+μ, x=3+2μ. Por tanto, un punto cualquiera de r es P(3,3,0) y el vector director de r es
Calculamos el vector
El plano α buscado pasa por el punto A y tiene por vectores directores
Por tanto,
b) Primero obtenemos la ecuación implícita del plano π. Dicho plano pasa por el punto A y tiene por vectores directores a
Para estudiar la posición relativa entre r y π sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano.
Resolvemos la ecuación 3λ+1=0→λ=-1/3. Entonces:
- Si λ≠-1/3, entonces la ecuación
tiene solución única
lo cual quiere decir que recta y plano se cortan en el punto Q(3+2μ,3+μ,μ).
- Si λ=-1/3 entonces la ecuación
se convierte en 0=5/3, lo cual es falso y significa que recta y punto no se cortan, es decir, recta y plano son paralelos.
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