Problema 45

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II

Considera la función definida por \displaystyle f(x)=-x+\frac 4{x^2} para x≠0.

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) Esboza la gráfica de f.

Solución:

a) Asíntota vertical.

Para el cálculo de la asíntota vertical necesitamos conocer el dominio de la función que en este caso es ℜ\{0}. Luego, si la función f tiene asíntota vertical será en x=0.

\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}-x+\frac 4{x^2}=\frac 4{0^+}=+\infty\\\\\lim_{x\rightarrow 0^-}-x+\frac 4{x^2}=\frac 4{0^+}=+\infty

Luego, sí tiene asíntota vertical, x=0.

Asíntota horizontal.

Para calcular la asíntota horizontal hacemos el siguiente límite para x tendiendo a infinito, siempre que esté definido por el dominio. En el caso de funciones racionales, como es este caso, si este límite es infinito no existe la asíntota horizontal; si el límite es finito, es el mismo valor ya sea con x tendiendo a +∞ o a -∞.

\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}-x+\frac 4{x^2}=-\infty

Por tanto, no tiene asíntota horizontal.

Asíntota oblicua.

La asíntota oblicua, si existe, es de la forma y=mx+n. Calculamos ambos valores

\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{-x+\frac 4{x^2}}x=\lim_{x\rightarrow +\infty}-1+\frac 4{x^3}=-1\\\\n=\lim_{x\rightarrow +\infty}-x+\frac 4{x^2}+x=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac 4{x^2}=0

Sí existe la asíntota oblicua y su ecuación es y=-x.

Queda saber si la función se acerca a la asíntota por encima o por debajo.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}-x+\frac 4{x^2}-(-x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac 4{x^2}=0^+\\\\\lim_{x\rightarrow -\infty}-x+\frac 4{x^2}-(-x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac 4{x^2}=0^+

Es decir, tanto a +∞ como a -∞, la función se aproxima a la asíntota oblicua por encima de esta.

b) Para estudiar la monotonía se comienza por obtener la función derivada.

\displaystyle f(x)=-x+\frac 4{x^2}\\\\f'(x)=-1-\frac{4\cdot 2x}{x^4}=-1-\frac 8{x^3}

Se calculan los puntos críticos: f´(x)=0.

\displaystyle -1-\frac 8{x^3}=0\\\\\frac 8{x^3}=-1\\\\-x^3=8\\\\x^3=-8\\\\x=\sqrt[3]{-8}=-2

Con los puntos críticos y los puntos conflictivos del dominio construimos los intervalos y, evaluando la derivada en un punto de cada intervalo, concluimos la monotonía de la función.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &(-\infty ,-2)&(-2,0)&(0,+\infty )\\\hline f'(x)&-&+&-\\\hline f(x)&\mbox{decrece}&\mbox{crece}&\mbox{decrece}\\\hline\end{array}

Decrece: (-∞,-2)∪(0,+∞)

Crece: (-2,0)

En x=-2 se observa un mínimo relativo cuyas coordenadas son (-2,f(-2))=(-2,3).

c) Con los datos aportados anteriormente, la gráfica de la función resulta:

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