Problema 46

Calcula \displaystyle \int_0^1 \frac{x^2+1}{(x+1)^2}\,dx


Solución:

La función a integrar es una función racional donde el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Comenzamos con escribir la fracción en la forma cociente y resto:

\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2+1}{(x+1)^2}\,dx=\int_0^1 1\,dx-\int_0^1 \frac{2x}{x^2+2x+1}\,dx

Ya que (x+1)^2=x^2+2x+1.

\displaystyle \int_0^1 1\,dx-\int_0^1 \frac{2x}{x^2+2x+1}\,dx=\\\\=\left [x\right ]_0^1-\int_0^1\frac{2x+2-2}{x^2+2x+1}\,dx=\\\\=(1-0)-\int_0^1\frac{2x+2}{x^2+2x+1}\,dx+\int_0^1\frac 2{(x+1)^2}\,dx=\\\\=1-\left [\ln|x^2+2x+1|\right]_0^1+2\int_0^1(x+1)^{-2}\,dx=\\\\=1-(\ln 4-\ln 1)+2\left [\frac{(x+1)^{-1}}{-1}\right]_0^1=\\\\=1-\ln 4-2\left [\frac 1{x+1}\right]_0^1=1-\ln 4-2\left (\frac 12-1\right)=\\\\=1-\ln 4+1=2-\ln 4

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