Problema 47

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}1&0&m-1\\0&m-1&2-m\\0&-1&2-m\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}

a) Determina los valores de m para los que la matriz A no tiene inversa.

b) Para m=1, calcula, si existe, la matriz X que verifica la igualdad A^{-1}XA+I=B, siendo I la matriz identidad.


Solución:

a) Una matriz cuadrada no tiene inversa si su determinante vale 0.

\begin{vmatrix}1&0&m-1\\0&m-1&2-m\\0&-1&2-m\end{vmatrix}=(m-1)(2-m)+(2-m)=2m-m^2-2+m+2-m=-m^2+2m=-m(m-2)

Igualamos a 0 y resolvemos. Las soluciones de –m(m-2)=0 son m=0 y m=2. Para estos valores de m, la matriz A no tiene inversa.


b) Despejamos, en primer lugar, la matriz X de la ecuación A^{-1}XA+I=B

A^{-1}XA+I=B\\\\A^{-1}XA=B-I\\\\XA=A(B-I)\\\\X=A(B-I)A^{-1}

Sabiendo que m=1, el determinante de A es:

|A|=-1(1-2)=1

A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&1\end{pmatrix}

\mbox{Adj }A=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}0&1\\-1&1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}0&1\\0&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}0&0\\0&-1\end{vmatrix}\\-\begin{vmatrix}0&0\\-1&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&0\\0&-1\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}0&0\\0&1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&0\\0&0\end{vmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&-1&0\end{pmatrix}

\displaystyle A^{-1}=\frac 1{|A|}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&0\end{pmatrix}

Podemos calculara ya la matriz X:

\displaystyle X=A(B-I)A^{-1}=\\\\=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&1\end{pmatrix}\cdot\left (\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&0\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2&0&1\\1&-2&0\\0&1&-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&0\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}-2&0&1\\0&1&-2\\-1&3&-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1&0\\0&-1&-1\\-1&1&-3\end{pmatrix}

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