Problema 48

Considera el punto P(-1,0,1), el vector $\vec u=(1,2,1)$ y el plano π de ecuación y=0.

a) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, está contenida en π y cuyo vector director es perpendicular a $\vec u$ .

b) Determina la ecuación del plano que pasa por P, es perpendicular a π y del que $\vec u$ es un vector director.

Solución:

a) La forma más rápida de calcular la recta r que nos piden es obteniendo sus ecuaciones implícitas. Al estar r contenida en el plano π, una de las ecuaciones implícitas es la del propio plano π.

La segunda ecuación implícita será la de un plano α que pase por el punto P y sea perpendicular al vector $\vec u.$ Por ser perpendicular a $\vec u,$ el plano α se escribe en forma implícita de la siguiente manera:

$x+2y+z+D=0$

Ahora imponemos que pase por el punto P.

$-1+2\cdot 0+1+D=0\\\\D=0$

Por tanto, el plano α buscado es

$x+2y+z=0$

y la recta r es:

$r\equiv\left\{\begin{aligned}&&y&&&=0\\x&+&2y&+&z&=0\end{aligned}\right.$

b) El plano β buscado tiene las siguientes características pasa por P(-1,0,1), es perpendicular a π, lo cual significa que $\vec n_\pi=(0,1,0)$ es uno de sus vectores directores, y el otro vector director es $\vec u=(1,2,1)$ . Con estos datos ya podemos construir la ecuación implícita del plano β: