Problema 48

Considera el punto P(-1,0,1), el vector \vec u=(1,2,1) y el plano π de ecuación y=0.

a) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, está contenida en π y cuyo vector director es perpendicular a \vec u.

b) Determina la ecuación del plano que pasa por P, es perpendicular a π y del que \vec u es un vector director.


Solución:

a) La forma más rápida de calcular la recta r que nos piden es obteniendo sus ecuaciones implícitas. Al estar r contenida en el plano π, una de las ecuaciones implícitas es la del propio plano π.

La segunda ecuación implícita será la de un plano α que pase por el punto P y sea perpendicular al vector \vec u. Por ser perpendicular a \vec u, el plano α se escribe en forma implícita de la siguiente manera:

x+2y+z+D=0

Ahora imponemos que pase por el punto P.

-1+2\cdot 0+1+D=0\\\\D=0

Por tanto, el plano α buscado es

x+2y+z=0

y la recta r es:

r\equiv\left\{\begin{aligned}&&y&&&=0\\x&+&2y&+&z&=0\end{aligned}\right.


b) El plano β buscado tiene las siguientes características pasa por P(-1,0,1), es perpendicular a π, lo cual significa que \vec n_\pi=(0,1,0) es uno de sus vectores directores, y el otro vector director es \vec u=(1,2,1). Con estos datos ya podemos construir la ecuación implícita del plano β:

\begin{vmatrix}x+1&y&z-1\\0&1&0\\1&2&1\end{vmatrix}=x+1-z+1=x-z+2

\beta:~x-z+2=0

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