Problema 49

Sabiendo que

\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(x+1)-a\mbox{\;sen\;}x+x\cos(3x)}{x^2}

es finito, calcula a y el valor del límite (ln denota logaritmo neperiano).


Solución:

Recordamos que para resolver indeterminaciones del tipo 0/0 utilizamos la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(x+1)-a\mbox{\;sen\;}x+x\cos(3x)}{x^2}=\frac 00=\\\\\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac 1{x+1}-a\cos x+\cos(3x)-x\mbox{\;sen}(3x)\cdot 3}{2x}=\frac{2-a}0

Este límite solo puede ser finito si 2-a=0, lo cual implica que a=2.

Con ese valor de a vamos a calcular el valor del límite y comprobaremos si en realidad es finito.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac 1{x+1}-2\cos x+\cos(3x)-x\mbox{\;sen}(3x)\cdot 3}{2x}=\frac 00=\\\\\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac {-1}{(x+1)^2}+2\mbox{\;sen\;}x-\mbox{\;sen}(3x)\cdot 3-\mbox{sen}(3x)\cdot 3-x\cos(3x)\cdot 3^2}{2}=\\\\=\frac{-1}2

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