Problema 50

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto de abscisa x=1 sabiendo que f(0)=0 y \displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x+1} para x>-1.


Solución:

La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de tangencia x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

x_0 es dato y es x_0=1. f'(x_0)=f'(1) es fácil de calcular ya que tenemos la función derivada f'(x)

\displaystyle f'(1)=\frac{(1-1)^2}{x+1}=0

Nos queda solo calcular f(x_0)=f(1), pero para ello necesitamos calcular f(x) integrando f'(x).

\displaystyle f(x)=\int \frac{(x-1)^2}{x+1}~dx=\int \frac{x^2-2x+1}{x+1}~dx

Esta es una integral racional donde el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Comenzamos escribir dicha fracción en su forma de cociente y resto.

\displaystyle \int \frac{x^2-2x+1}{x+1}~dx=\int x-3~dx+\int\frac 4{x+1}~dx=\frac{x^2}2-3x+4\ln|x+1|+k=f(x)

Para obtener el valor de k utilizamos el dato f(0)=0

\displaystyle f(0)=\frac{0^2}2-3\cdot 0+4\ln|0+1|+k=k=0

Luego, \displaystyle f(x)=\frac{x^2}2-3x+4\ln|x+1|.

Podemos calcular el valor que necesitábamos para la recta tangente:

\displaystyle f(1)=\frac{1^2}2-3\cdot 1+4\ln|1+1|=4\ln 2-\frac 52

Sustituyendo todos los datos en la ecuación de la recta tangente:

\displaystyle y-\left (4\ln 2-\frac 52\right )=0\cdot (x-1)\\\\y=4\ln 2-\frac 52

Deja un comentario