Problema 51

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}-1&1&1\\0&1&0\\-2&1&1\end{pmatrix}\qquad\mbox{y}\qquad B=\begin{pmatrix}-3&3&2\\-8&7&4\\8&-6&-3\end{pmatrix}

a) Halla la matriz X que verifica AX+B=2A.

b) Calcula B^2\mbox{ y }B^{2016}.

Solución:

a) Para calcular la matriz X que verifica AX+B=2A, primero despejamos X de dicha ecuación:

AX+B=2A\\\\AX=2A-B\\\\X=A^{-1}(2A-B)

Calculamos la matriz inversa de A utilizando la fórmula

\displaystyle \boxed{A^{-1}=\frac 1{|A|}~(\mbox{Adj }A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}-1&1&1\\0&1&0\\-2&1&1\end{vmatrix}=-1+2=1

\mbox{Adj }A=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}0&0\\-2&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}0&1\\-2&1\end{vmatrix}\\-\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}-1&1\\-2&1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}-1&1\\-2&1\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}-1&1\\0&0\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}-1&1\\0&1\end{vmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&-1\\-1&0&-1\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\2&-1&-1\end{pmatrix}

Por otra parte:

2A-B=2\begin{pmatrix}-1&1&1\\0&1&0\\-2&1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3&3&2\\-8&7&4\\8&-6&-3\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}-2&2&2\\0&2&0\\-4&2&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3&3&2\\-8&7&4\\8&-6&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\8&-5&-4\\-12&8&5\end{pmatrix}

Por último:

X=A^{-1}(2A-B)=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\2&-1&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&-1&0\\8&-5&-4\\-12&8&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&-9&-5\\8&-5&-4\\6&-5&-1\end{pmatrix}

b) Calculamos B^2

B^2=\begin{pmatrix}-3&3&2\\-8&7&4\\8&-6&-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3&3&2\\-8&7&4\\8&-6&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I

Para calcular la potencia n-ésima de B solo hay que dividir dicha potencia entre 2, puesto que B²=I. La potencia n-ésima de dicha matriz es igual a esa matriz elevada al resto de aquella división.

Como 2016/2 da resto 0, entonces B^{2016}=B^0=I.

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